성남동 고등수학과외

절댓값이 포함된 방정식은 기호를 바로 전개하기보다, 식이 나타내는 값의 범위와 오른쪽 조건을 먼저 비교해야 한다. 특히 음수인 거리를 요구하는 문제에서는 계산 모양만 보고 해를 만들면 안 된다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답의 형태보다 주어진 조건이 실제로 성립하는지 확인하는 데서 풀이를 시작한다.

±를 적용하기 전에 절댓값의 의미 확인하기

문제는 실수 x에 대하여 |x−2|=−3을 풀라는 것이다. 이를 본 학생이 “x−2=±3이므로 x=−1, 5”라고 답했다면, 절댓값 방정식의 일반적인 모양을 기억했지만 오른쪽 값의 조건을 빠뜨렸을 가능성이 있다. 먼저 절댓값이 수직선에서 기준점 2와 x 사이의 거리라는 점을 떠올린다. 거리는 방향에 따라 두 위치에서 나타날 수 있지만, 그 값 자체는 음수가 될 수 없다.

이때 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않는다. “절댓값 자체가 음수가 될 수 있는가?”라고 묻고, 학생이 |x−2|의 값을 수직선에 표시해 보게 한다. 이어서 왼쪽 값이 항상 0 이상이라는 사실과 오른쪽의 −3을 직접 대조하게 한다. 안쪽 식 x−2의 부호가 양수인지 음수인지와, 절댓값 전체의 값이 음수가 되는지는 서로 다른 문제임을 구분한다.

주어진 등식이 실제로 뜻하는 값과 비교하기

교사는 절댓값을 식의 모양으로만 다루지 않고 거리로 해석하도록 안내한다. 중심이 2인 거리라면 가능한 거리는 0 이상이어야 한다. 따라서 어떤 실수 x를 넣더라도 |x−2|≥0이고, 이를 −3과 같다고 할 수 있는지 먼저 판단해야 한다. x−2=±3이라는 식은 오른쪽이 음수가 아닐 때 양쪽 방향의 거리를 나타내는 과정과 연결되지만, 이번 등식에서는 그보다 앞서 성립 가능성을 확인해야 한다.

근거를 들은 뒤 결론까지 교사가 대신 말하지 않고, 학생이 두 변의 부호를 비교해 직접 완성하도록 한다. 학생은 “두 변의 부호가 맞지 않으므로 해가 없다”라고 수정한다. 검산도 특정 수를 대입해 우연히 확인하는 데 그치지 않고, 모든 실수 x에서 |x−2|≥0이라는 일반적인 성질로 −3과 같을 수 없음을 확인한다. 그러므로 정답은 해 없음이다.

표현이 바뀐 문제에서 양쪽 위치를 다시 점검하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이 과정과 정답 표시는 가린 상태에서, 실수 x에 대해 |x−2|=3을 풀게 한다. 앞 문제와 중심 2는 같지만 요구한 거리가 −3에서 3으로 바뀌었다. 이는 단순히 식의 표현만 바꾼 것이 아니라 성립 조건이 달라진 경우이므로, 학생은 거리 3이 가능한지 먼저 판단한 뒤 수직선에 중심 2의 양쪽 위치를 표시한다.

학생이 x−2=3 또는 x−2=−3을 세우면 x=5 또는 x=−1을 얻는다. 두 값을 각각 원래 식에 대입해 |5−2|=3, |−1−2|=3인지 확인하고, 한 방향만 남기지 않았는지도 대조한다. 정답은 −1, 5이며, 같은 중심에서 거리 3인 두 위치를 모두 찾았다는 뜻이다. 이후에도 문제의 조건과 필수 자료만 제시한 채 풀이를 다시 구성하게 하여, 음수인 거리 요구에서는 해가 없고 양의 거리 요구에서는 양쪽 해가 생긴다는 판단과 검산 순서를 스스로 재현하는지 확인한다.