대전동구 고등수학과외

기하에서 벡터의 내적과 각을 다룰 때는 길이만 따로 계산하는 습관이 오답으로 이어질 수 있다. 대표적으로 $|a|=2,\ |b|=3,\ a\cdot b=1$일 때 $|a+b|$를 구하는 문제에서, 이렇게 답했다면 “$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$”이라는 계산이 된다. 그러나 합벡터의 길이는 두 벡터의 길이 제곱만 더해 정하는 값이 아니므로, 처음 식에서 어떤 판단이 빠졌는지 확인해야 한다.

합을 제곱할 때 빠진 두 교차항 찾기

먼저 $(a+b)\cdot(a+b)$를 직접 네 항으로 표시하게 한다. 전개하면 $a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b$이고, 내적은 성분 곱의 합으로 얻는 실수이므로 $a\cdot b=b\cdot a$이다. 따라서 두 교차항이 합쳐져 $|a+b|^2=|a|^2+2a\cdot b+|b|^2$가 된다. “교차항을 포함했는가?”라고 묻는 것은 단순히 공식을 외웠는지 확인하려는 것이 아니라, 합을 제곱하는 구조를 이해했는지 살피기 위해서다.

또한 내적을 벡터 자체로 생각하고 있지는 않은지, 각을 구할 때 $a\cdot b=|a||b|\cos\theta$에서 두 벡터가 모두 영벡터가 아니라는 조건을 놓치지는 않았는지도 구분해 본다. 이번 계산에서는 주어진 내적 1이 $|a||b|=6$의 범위 안에 있어 가능한 조건이다. 학생은 교사의 식을 그대로 받아 적기보다, $4+2(1)+9$를 직접 쓰고 각 항이 어디에서 왔는지 표시한다.

학생의 수정 풀이와 길이의 부호 확인

학생이 “$4+2+9=15$이므로 $|a+b|=\sqrt{15}$”라고 다시 계산했다면, 이제 제곱과 길이를 구분했는지 확인한다. $|a+b|^2=15$이므로 길이는 음수가 될 수 없다는 조건에 따라 양의 제곱근 $\sqrt{15}$를 선택한다. 처음의 $\sqrt{13}$과 비교할 때도 단순히 답만 바꾸지 않고, 빠졌던 $2a\cdot b=2$를 식 위에 표시하게 한다. 이처럼 한 부분 검산은 계산의 누락을 찾는 데 쓰고, 내적의 교환성과 제곱 전개는 일반적인 근거로 설명한다.

이 과정은 배움노트 고등수학 수업에서도 풀이를 대신 완성하는 방식보다 학생이 등식의 각 항을 직접 확인하도록 연결할 수 있다. 특히 $a\cdot b=1$을 길이의 곱으로 잘못 읽지 않도록, 내적은 이미 주어진 실수이며 각도 자체를 구하는 단계와는 구별된다는 점을 다시 적는다.

합과 차를 바꾸어도 교차항을 점검하는 순서

풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 다음 문제를 시작한다. $|a|=2,\ |b|=3,\ a\cdot b=1$일 때 $|a-b|$를 구하는 문제다. 먼저 $(a-b)\cdot(a-b)$를 네 항으로 전개하고, $|a-b|^2=|a|^2-2a\cdot b+|b|^2$를 확인한다. 따라서 $4-2+9=11$, $|a-b|=\sqrt{11}$이다. 바뀐 것은 벡터 사이의 연산이 합에서 차로 변했다는 점이며, 길이의 제곱을 내적으로 전개하는 방법은 그대로다.

마지막으로 $|a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2$를 대조하면 $15+11=26$이고 오른쪽도 $2\cdot4+2\cdot9=26$이다. 다음 점검에서는 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건을 먼저 표시하고, 두 문제에서 달라진 점을 한 문장으로 쓰게 한다. 교차항을 빠뜨렸다면 다시 $(a\pm b)\cdot(a\pm b)$의 네 항으로 돌아가 스스로 수정한다.