유성구 고등수학과외

점 (0,−1)을 접점으로 둔 답안에서 출발하기

외부의 주어진 점을 지나는 접선을 구하는 문제에서 이렇게 답했다면, 먼저 정답보다 답안의 근거를 살펴볼 필요가 있다. 점 (0,−1)을 접점으로 생각하여 x=0, y=0이라고 썼다면 접점의 좌표와 접선이 지나야 하는 점을 혼동했을 가능성이 있다. 곡선 y=x²에서 x=0일 때의 곡선 위 점은 (0,0)이므로, (0,−1)은 곡선 위에 있지 않다. 따라서 이 점을 접점으로 바로 정할 수 없다. “점 (0,−1)은 곡선 위에 있는가?”라고 묻고, 학생이 f(0)=0을 직접 계산해 주어진 y좌표 −1과 대조하게 한다. 이 비교만으로도 주어진 점이 접점인지, 접점 밖에서 추가로 사용해야 하는 점인지 구분할 수 있다.

접점의 기울기와 외부 점 조건을 한 식으로 연결하기

곡선 y=f(x)에서 x=a인 접점은 (a,f(a))로 나타내고, 그 점에서의 접선 기울기는 f′(a)이다. 여기서는 f(x)=x²이므로 f′(a)=2a, 접점은 (a,a²)이다. 두 정보를 이용하면 접선은 y=2ax−a²가 된다. 마지막 항 −a²는 접선의 위치를 정하는 절편이므로 빠뜨리면 안 된다. 이제 접점 밖의 주어진 점 (0,−1)은 별도의 조건으로 사용한다. 교사는 식을 전부 대신 계산하지 않고, “이 직선에 (0,−1)을 대입하면 어떤 등식이 남는가?”까지만 제시한다. 학생은 −1=−a²를 직접 적고, 실수 범위에서 a=±1을 구한다. a=1일 때 y=2x−1, a=−1일 때 y=−2x−1이므로 가능한 접선은 두 개다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이런 식으로 점의 역할, 기울기, 절편을 분리해 확인하면 단순한 대입 실수를 줄일 수 있다.

직선이 실제로 지나고 접하는지 다시 대조하기

구한 두 직선이 조건을 만족하는지는 주어진 점과 곡선과의 관계를 각각 확인해야 한다. y=2x−1과 y=−2x−1은 x=0일 때 모두 y=−1이므로 (0,−1)을 지난다. 또 y=x²과 y=2x−1을 연립하면 x²=2x−1, 즉 (x−1)²=0이 된다. y=−2x−1과 연립하면 x²=−2x−1, 즉 (x+1)²=0이다. 두 경우 모두 접점에서 중근이 생기므로 직선이 곡선과 한 점에서 접한다는 사실을 확인할 수 있다. 이후 풀이와 정답을 가린 채 문제의 식, 주어진 점, 실수 범위만 남겨 다시 시작한다. 학생은 먼저 (0,−1)이 곡선 위에 있는지 f(0)=0으로 확인하고, 접점 (a,a²)와 접선 y=2ax−a²를 적은 뒤 외부 점 조건을 세워야 한다. 표현만 바꾼 경우와 조건 자체가 바뀐 경우도 구별한다. 예를 들어 점 (0,1)을 지나는 같은 곡선의 접선을 판단할 때는 1=−a²가 되어 실수 a가 존재하지 않으므로 접선이 없다. 제안한 직선과 곡선을 연립해도 접점의 중근 조건을 만들 수 없다는 점까지 대조한다. 다음에는 절편을 생략하지 않고, 완성한 직선에 주어진 점을 다시 대입해 실제로 지나는지 확인하는지 살펴본다.