대덕구 고등수학과외

조건부확률로 종속 판정을 해 보았을 때 계산 결과가 예시 오답과 어긋나는 지점부터 살펴본다. 주어진 값은 P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A|B)=0.6이다. 이렇게 답했다면 “P(A|B)도 0과 1 사이의 확률이므로 A와 B는 독립이다”라고 판단했을 수 있다. 그러나 0과 1 사이에 있다는 사실은 확률의 범위를 말할 뿐, 두 사건 사이의 관계를 설명하지 않는다.

조건을 알기 전과 후의 확률 비교

먼저 B가 일어났다는 정보를 받은 뒤 A의 확률이 원래와 같은지 확인한다. 독립을 판단하려면 P(B)>0이라는 조건에서 P(A|B)=P(A)인지 비교해야 한다. 여기서는 P(A|B)=0.6, P(A)=0.4이므로 두 값이 다르다. B라는 정보가 A의 확률을 바꾸었으므로 A와 B는 독립이 아니다. 계산하기 전에 “조건을 알게 된 뒤에도 A의 가능성이 그대로인가?”라고 묻는 과정이, 단순히 확률값의 범위만 보고 판단하는 오류를 구분하는 데 도움이 된다.

수정한 식과 곱셈 기준 검산

학생이 두 값을 직접 나란히 적고 부등호를 표시하면 판단 근거가 분명해진다. 0.6≠0.4이고 P(B)=0.5>0이므로 A와 B는 독립이 아니다. 같은 결론을 교집합 확률로도 확인할 수 있다. 조건부확률의 정의에서 P(A∩B)=P(A|B)P(B)이므로 P(A∩B)=0.6×0.5=0.3이다. 한편 독립이라면 성립해야 하는 식은 P(A∩B)=P(A)P(B)이고, 오른쪽은 0.4×0.5=0.2이다. 0.3과 0.2가 다르므로 곱의 기준에서도 독립이 아님을 확인한다. 어느 한 수치만 대입해 결론을 정하는 것이 아니라, 조건부확률 비교와 독립의 등식을 각각 구분해 적는 것이 핵심이다.

표현이 바뀌어도 조건을 남긴 재적용

이제 풀이 순서와 결론을 가리고, 다음 자료만 남긴 채 다시 시작한다. P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2이다. 학생은 먼저 0.4×0.5와 0.2를 직접 계산하고 비교해야 한다. 두 값이 모두 0.2이므로 P(A∩B)=P(A)P(B)가 성립하여 독립이다. 이어서 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.4=0.5를 구하고, 이것이 P(B)=0.5와 같은지도 대조한다. 이번에는 조건부확률 기준과 곱셈 기준이 같은 결론을 가리킨다.

문제의 표현만 달라진 것인지 실제 조건이 달라진 것인지도 구별해야 한다. 앞의 경우에는 P(A|B)=0.6이라는 조건이 P(A)=0.4와 달랐고, 뒤의 경우에는 교집합 확률 0.2가 두 확률의 곱과 같았다. 따라서 “독립처럼 보인다”는 말의 인상 대신, 주어진 자료에서 비교할 식을 먼저 세운다. 마지막으로 학생이 조건부확률을 이용한 종속 판정, 교집합과 두 확률의 곱 비교, 검산 결과를 스스로 구성해 서로 맞추는지 확인한다. 다시 비슷한 문제를 풀 때도 문제와 조건을 남기고 풀이와 유도 표시는 가린 상태에서, 비교할 두 값을 직접 표시하게 한다.