덕천동 고등수학과외

x≥0 그리고 x≤2, 즉 0≤x≤2. 이 판단은 실수 x에 관한 조건 ‘x<0 또는 x>2’의 부정을 구한 결과다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 데 그치지 않고, 왜 두 부등식 사이의 연결이 ‘그리고’로 바뀌는지 학생이 직접 확인하도록 한다.

두 바깥 구간을 피하는 조건부터 다시 묻기

처음 조건은 x가 0보다 작거나 2보다 큰 경우다. 이를 만족하지 않는 수를 찾으려면 x<0이 아니고, 동시에 x>2도 아니어야 한다. 그런데 이렇게 답했다면 ‘x≥0 또는 x≤2’라 하여 모든 실수라고 판단했을 수 있다. 두 반대 조건을 ‘또는’으로 연결하면 하나만 참이어도 포함되므로 범위가 지나치게 넓어진다.

이때 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. “두 바깥 구간을 모두 피하려면 두 반대 조건을 어떻게 연결해야 할까?”라고 묻고, 학생이 x<0이 아닌 조건과 x>2가 아닌 조건을 각각 써 보게 한다. 이어 명제의 방향을 바꾼 것인지, 전칭·존재 명제의 부정을 잘못 만든 것인지 구분한다. 몇 개의 수를 대입해 맞는지 보는 것은 확인에는 도움이 되지만, 모든 실수에 대한 명제를 증명하는 근거가 될 수는 없다.

부정의 연결과 끝점을 식으로 표시하기

x<0이 아니므로 x≥0이고, x>2가 아니므로 x≤2이다. 원래 조건을 만족하지 않으려면 이 두 조건을 모두 만족해야 하므로 x≥0 그리고 x≤2가 된다. 따라서 0≤x≤2, 정답은 [0,2]이다. 학생이 직접 두 부등식을 나란히 적은 뒤 하나의 구간으로 합치게 하면, ‘또는’이 단순히 같은 기호로 반복되는 것이 아니라 부정 과정에서 연결 방식까지 달라진다는 점을 확인할 수 있다.

검산할 때는 0과 2를 따로 표시한다. 0은 x<0을 만족하지 않고 x>2도 만족하지 않으므로 부정에 포함된다. 2도 마찬가지다. 반대로 -1과 3은 원래 조건에 들어가므로 부정에서는 제외된다. 원 조건과 그 부정은 서로 겹치지 않으며 실수 전체를 둘로 나누어야 하므로, [0,2]라는 결과와도 일치한다.

표현을 바꾼 조건에 독립적으로 다시 적용하기

이번에는 문제와 조건만 남긴 상태에서 실수 x에 관한 ‘x≥0 그리고 x≤2’의 부정을 구한다. 앞의 풀이와 정답을 가린 뒤, 먼저 경계값 0과 2를 표시하고 어느 범위가 조건에서 빠지는지 학생이 직접 적는다. 두 조건 중 하나라도 거짓이면 원 조건을 만족하지 못하므로 x<0 또는 x>2가 되고, 정답은 (−∞,0)∪(2,∞)이다.

−1은 x≥0을 실패하고 3은 x≤2를 실패하지만 둘 다 구간 밖에 있으므로 결과를 부분적으로 확인할 수 있다. 반면 0과 2는 원래 ‘그리고’ 조건을 만족하므로 부정에 포함되지 않는다. 앞 문제는 ‘또는’의 부정에서 두 조건을 모두 만족하는 범위를 찾았고, 이번에는 ‘그리고’의 부정에서 하나라도 실패하는 범위를 찾았다는 차이를 한 문장으로 쓰게 한다. 이후에도 문장을 부정할 때는 원문을 만족하지 않는 대상을 먼저 찾고, ‘모든·어떤’과 ‘그리고·또는’, 경계 포함 여부를 함께 바꾸어 표시한다.