동성로 고등수학과외

기하의 공간좌표와 구 단원에서는 그림의 모양보다 각 좌표가 어떻게 변했는지를 읽는 일이 먼저다. 특히 높이 차가 있는 거리에서는 평면에서 익숙하게 계산한 값만 보고 답을 정하면 조건 하나를 빠뜨리기 쉽다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 한 번의 오답으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 어떤 차이를 계산에 넣었는지 직접 확인하며 풀이를 다시 세운다.

평면 거리 5에서 멈췄다면 무엇을 빠뜨렸을까

A(1,2,3), B(4,6,15)의 거리를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면, x와 y의 차이만 사용한 것이다. 두 점의 평면상 이동은 x방향으로 3, y방향으로 4이므로 그 거리는 √(3²+4²)=5이다. 그러나 두 점은 같은 높이에 있지 않다. z좌표도 3에서 15로 변하므로 높이 차는 12이다. 따라서 학생에게 먼저 “z방향 차 12도 거리 계산에 포함했는가?”라고 묻고, 풀이 옆에 x, y, z의 변화량을 각각 적게 한다. 이어 5가 전체 공간 거리인지, 같은 높이에서의 평면 거리인지 구분해 표시하게 한다.

이때 5라는 값 자체가 틀린 계산에서 나온 무의미한 수는 아니다. z좌표를 무시했을 때의 평면 거리라는 뜻이 분명하다. 다만 문제는 세 좌표를 가진 두 점 사이의 공간 거리를 요구하므로 주어진 조건과 비교하면 충분하지 않다. 한 좌표를 빠뜨린 것인지, 구의 반지름과 반지름의 제곱을 혼동한 것인지도 확인 질문으로 나눈다. 같은 오답이라도 계산 과정에서 z의 차를 적고 지웠는지, 처음부터 보지 못했는지에 따라 다음 설명이 달라진다.

세 방향의 변위를 직각 관계로 다시 세우기

공간에서 두 점 사이의 거리는 세 방향 변위의 제곱합에 제곱근을 취해 구한다. 이 문제에서는 B−A=(4−1, 6−2, 15−3)=(3,4,12)이다. 가로 평면에서의 거리 5와 높이 차 12는 서로 직각인 두 변으로 볼 수 있으므로 전체 거리는 √(5²+12²)로 정리된다. 여기서 교사는 완성된 결론만 제시하지 않고, 학생이 다음 식을 직접 쓰게 한다. 세 좌표 차의 제곱합은 3²+4²+12²=9+16+144=169이고, 그 제곱근은 13이다.

구의 방정식을 함께 다룰 때도 중심에서 점까지의 거리를 그대로 쓰는 것이 아니라 거리의 제곱을 반지름의 제곱과 같게 둔다는 점을 구분해야 한다. 즉 표준형의 오른쪽은 반지름 자체가 아니라 반지름의 제곱이다. 이번 거리 문제에서는 이 정의를 섞어 쓰지 않고, 좌표 차를 제곱해 더한 뒤 마지막에 제곱근을 취한다. 학생의 수정 풀이는 “거리 = √(5²+12²)=13”으로 완성하며, 마지막에는 9+16+144=169인지 대조해 계산과 결론을 함께 검산한다.

풀이를 가린 채 높이 차와 같은 평면을 다시 비교하기

다음 점검에서는 앞의 풀이와 정답을 가리고 문제와 검산 방법만 남긴다. 문제는 A(1,2,3), B(4,6,3)의 거리를 구하는 것이다. 학생은 먼저 B−A=(3,4,0)을 적고, 거리 √(3²+4²+0²)=5를 구성해야 한다. 두 점의 z좌표가 같으므로 높이 차는 0이며, 두 점은 같은 z=3 평면 위에 있다. 따라서 이 경우에는 평면의 3-4-5 관계만 남는다.

이 재적용은 숫자만 바꾼 같은 문제를 외우는지 확인하는 과정이 아니다. 높이 차가 있는 경우와 없는 경우를 조건에 따라 구별하는지 살피는 것이다. 학생이 공간 그림의 겉모양에 의존하지 않고 x, y, z의 변화량을 각각 표시하는지, 제곱합과 제곱근의 순서를 지키는지, 검산 결과와 답이 일치하는지 확인한다. 같은 풀이 틀을 유지하되 실제 조건이 달라지면 필요한 항도 달라진다는 점까지 설명할 수 있을 때 다음 공간좌표 문제로 넘어간다.