대봉동 고등수학과외

“3⁴=81”이 뜻하는 선택부터 확인하기

예시 답안에 “3⁴=81.”이라고 적혀 있다면, 먼저 계산 결과보다 그 식이 세고 있는 대상을 확인해야 한다. 종류 A, B, C의 같은 크기 구슬이 충분히 있고 순서 없이 4개를 고르는 문제에서는 AABB와 ABAB를 서로 다른 선택으로 세어야 할까? 두 경우 모두 A를 2개, B를 2개 고른 것이므로 순서를 기록하지 않는다면 같은 선택이다. 반면 3⁴은 네 번의 자리에 A, B, C 중 하나를 배치하는 경우를 세므로 순서가 있는 선택에 해당한다. 따라서 주어진 조건과 실제로 센 대상이 일치하지 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만 보고 원인을 정하지 않고, 학생이 각 자리에 무엇을 기록했는지 직접 표시하게 하며 선택의 순서를 사용했는지 확인한다.

종류별 개수로 바꾸어 식을 세우기

순서 없는 선택은 종류별 개수로 나타내는 것이 알맞다. A를 a개, B를 b개, C를 c개 골랐다면 조건은 a+b+c=4, a,b,c≥0인 정수해를 구하는 문제로 바뀐다. 중복조합으로는 3H4=6C2=15이다. 여기서 이항계수는 서로 다른 종류의 개수를 세는 값이 아니라, 전개 과정에서 특정 항을 고를 자리의 수를 나타내는 계수라는 점을 구분해야 한다. 예를 들어 (x+y)^4에서 x²y² 항의 계수는 네 자리 중 y를 놓을 두 자리를 고르는 4C2에서 나온다. 그러나 구슬 문제의 핵심은 네 자리의 배열이 아니라 a, b, c라는 개수의 배정이다. 학생에게는 첫 비교까지만 제시하고, A의 개수를 a=0,1,2,3,4로 나누어 남은 B와 C의 배정 수를 직접 적게 한다.

학생이 수정 풀이에 3H4=6C2=15라고 적었다면, 마지막에 왜 6C2가 되는지도 말로 확인한다. a=0일 때 b+c=4의 경우는 5가지이고, a=1,2,3,4일 때는 각각 4, 3, 2, 1가지이다. 합은 5+4+3+2+1=15이므로 정답은 15가지다. 이 확인은 한 수치를 대입한 부분 검산이며, 모든 가능한 a를 빠짐없이 나누어 센다는 점에서 누락이나 중복이 없는지 점검하는 근거가 된다. 오답의 마지막 줄은 비워 두고 학생이 “순서 없이 종류별 개수를 고르므로 15가지”와 그 이유를 직접 완성하게 한다.

최소 개수 조건을 바꾸어 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남긴다. A, B, C 구슬이 충분히 있을 때 순서 없이 6개를 고르되 각 종류를 한 개 이상 고르는 방법을 구하는 상황이다. 앞의 문제를 그대로 표현만 바꾼 것이 아니라, 각 종류의 최소 개수라는 조건이 실제로 달라졌다. 학생은 먼저 a+b+c=6, a,b,c≥1을 표시하고, 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 각 종류에 한 개씩 먼저 채우면 a′=a−1, b′=b−1, c′=c−1로 둘 수 있고, 남은 개수는 a′+b′+c′=3, a′,b′,c′≥0이다. 따라서 방법 수는 3H3=5C2=10이다. 양의 정수해와 남은 3개의 비음수 배정 사이가 일대일 대응하므로 정답은 10가지다. 학생이 바뀐 조건을 먼저 표시했는지, 최소 개수를 채운 뒤 남은 개수만 세었는지 확인하며, 다음에는 최소·최대 조건이 함께 주어져도 종류별 합과 허용 범위를 먼저 적도록 이어 간다.