재송동 고등수학과외

“코드 012를 문제에서 허용했는가?”에서 시작하기

“코드 012를 문제에서 허용했는가?”라고 먼저 묻는다. 허용했다면 0은 첫 자리에 올 수 있고, 코드를 수가 아니라 문자열로 본다는 조건이 핵심이다. 0, 1, 2, 3을 중복 없이 써 길이 3의 코드 문자열을 만든다면 첫 자리에는 네 기호가 모두 올 수 있다. 첫 자리를 정한 뒤 둘째 자리는 남은 세 가지, 셋째 자리는 남은 두 가지이므로 전체 경우의 수는 4·3·2이다. 이때 서로 다른 결과는 배열된 코드 자체이며, 순서가 달라지면 다른 코드로 세어야 한다.

반대로 문제에서 세 자리 자연수를 만든다고 했다면 첫 자리에 0을 둘 수 없다. 같은 숫자 네 개를 사용하더라도 코드와 자연수는 첫 자리 조건이 다르다. 따라서 표현만 바뀐 것인지, 실제로 0을 제한하는 조건이 바뀐 것인지부터 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 식을 바로 외우기보다 문제의 대상과 정의를 먼저 읽고, 각 자리에 가능한 선택을 표시하게 한다.

3·3·2가 뜻하는 대상을 다시 대조하기

이렇게 답했다면 “3·3·2에서 첫 번째 3은 왜 세 가지인가?”라고 묻는다. 세 자리 자연수의 백의 자리라면 0을 제외한 1, 2, 3만 가능하므로 3가지가 맞다. 그러나 코드의 첫 자리라면 0까지 포함해 4가지다. 따라서 3·3·2=18은 코드 문제의 답이 아니라, 첫 자리에 0이 올 수 없는 자연수 문제를 계산한 식에 해당한다.

학생은 처음 쓴 식 옆에 각 숫자가 어떤 자리를 세는지 직접 적고, 012가 허용되는지 문제 문장과 대조한다. 이어 첫 자리에 0이 있는 코드와 없는 코드를 나누어 작은 목록을 일부 만들어 본다. 0으로 시작하는 코드는 012, 013, 021, 023, 031, 032로 6개이고, 0이 없는 코드는 첫 자리가 1, 2, 3 중 하나인 경우 각각 3·2개씩이므로 18개다. 두 묶음을 합치면 6+18=24가 되어 4·3·2와 일치한다. 한 오답만으로 원인을 정하지 않고, 순서를 구분했는지와 제한 조건을 반영했는지를 각각 확인한다.

조건을 가린 재적용으로 식을 처음부터 세우기

이제 문제·사용할 숫자 0, 1, 2, 3·중복 금지·세 자리라는 조건만 남기고, 풀이와 정답 및 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 문제는 “0, 1, 2, 3을 중복 없이 써 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 구하라”이다. 학생은 먼저 백의 자리에 0이 올 수 없음을 표시하고, 1·2·3 중 3가지를 고른 뒤 십의 자리는 남은 3가지, 일의 자리는 2가지라고 직접 식을 세운다. 그러면 3·3·2=18이다.

검산은 전체 배열 4·3·2=24개에서 0으로 시작하는 배열 3·2=6개를 빼는 방식으로도 가능해 24-6=18을 얻는다. 다음 재시도에서는 “첫 자리에 0을 허용하는 대상인가?”, “각 자리의 선택 수는 몇 개인가?”라는 확인 질문만 남긴다. 답을 외운 것이 아니라 코드와 자연수의 조건 차이를 근거로 식을 바꾸었는지 살피고, 계산식만 기억해 혼동한다면 가능한 배열을 일부 직접 적어 중복이나 누락을 찾게 한다.