부산중동 고등수학과외

x=1에서 도함수의 값만 보고 극값을 정하지 않기

미적분Ⅰ에서 평균값 정리와 증가·감소를 연결할 때는 답의 모양보다 빠진 조건을 먼저 찾는 습관이 중요하다. 예를 들어 다음과 같은 문제를 생각해 보자. f(x)=x³−3x²+3x의 증가·감소와 x=1에서 극값 여부를 판단하라. 이 식을 미분하면 f′(x)=3x²−6x+3=3(x−1)²이다. 이렇게 답했다면 “f′(1)=0이므로 x=1에서 극소”라고 결론 내리기 쉽다. 그러나 도함수가 0이라는 사실만으로 극값을 확정할 수는 없다.

먼저 학생이 직접 x=1의 왼쪽과 오른쪽에서 3(x−1)²의 부호를 표시하게 한다. 제곱은 1의 양쪽에서 음수가 되지 않으며, x=1을 제외한 두 구간에서 모두 양수이다. 따라서 도함수 부호가 +에서 −로, 또는 −에서 +로 바뀌지 않는다. 이때 확인 질문은 “제곱 인수가 경계를 기준으로 부호를 바꾸는가?”이다. 한 점에서의 기울기와 구간 전체의 변화 방향을 구별했는지도 함께 묻는다.

평균값 정리의 조건과 함수의 다른 표현 대조하기

증가·감소를 판단할 때 평균값 정리를 근거로 삼으려면 해당 닫힌구간에서 함수가 연속이고, 그 안쪽 열린구간에서 미분 가능해야 한다. 이 함수는 다항함수이므로 임의의 구간에서 이 조건을 만족한다. 어떤 두 수 a<b를 잡으면 평균값 정리에 의해 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)로 나타낼 수 있는 c가 존재한다. 다만 f′(c)가 항상 양수라고 단순히 쓰기보다, c가 1일 때만 0이고 그 밖에서는 양수라는 점을 구분해야 한다.

더 직접적인 대조도 가능하다. f(x)=x³−3x²+3x=(x−1)³+1이므로, x가 커질수록 x−1도 커지고 세제곱 함수의 단조성이 그대로 유지된다. 따라서 실수 전체에서 함수는 증가한다. x=1에서는 접선의 기울기가 0일 뿐, 좌우에서 함수값의 변화 방향이 바뀌지 않는다. 그러므로 극대도 극소도 아니다. 학생은 “도함수의 부호가 양쪽 구간에서 양수이고, x=1에서만 0이므로 전체 증가하며 극값은 없다”라고 수정 풀이를 완성한다.

고친 판단을 조건이 달라진 문제에 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 풀이와 정답을 가리고 다시 시작한다. 문제는 f(x)=x³−3x의 증가·감소 구간을 구하는 것이다. 필수 자료는 도함수와 임계점이며, 먼저 f′(x)=3(x−1)(x+1)을 구한 뒤 경계 −1, 1이 나뉘는 세 구간의 인수 부호를 직접 적는다. (−∞,−1)에서는 +, (−1,1)에서는 −, (1,∞)에서는 +가 된다. 따라서 증가는 (−∞,−1), (1,∞), 감소는 (−1,1)이다.

앞 문제의 3(x−1)²와 비교하면 차이는 인수의 형태다. 제곱 인수는 경계를 지나도 부호가 반복되어 극값 판단의 변화가 없지만, (x−1)(x+1)은 각 경계에서 부호가 달라질 수 있어 구간을 나누어 조사해야 한다. 수정 전후 풀이를 섞어 놓고 학생이 올바른 순서를 복원하게 한 뒤, 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 말한 부분이 있는지 확인한다. 마지막으로 식의 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별하며, 각 구간의 부호를 표시한 근거까지 말하게 한다.