봉덕동 중등수학과외

“x<5”라는 답안에서 시작한 확인

학생은 괄호가 있는 부등식 2(x−1)≤x+3을 풀고 답을 “x<5”라고 적었다. 봉덕동중등수학과외 수업에서는 정답만 바로 고치지 않고, 학생이 어느 단계까지는 문제의 구조를 따라갔는지 먼저 확인한다. 이 답안만 보고 계산 실수나 개념 부족으로 단정하지 않기 위해, 원래 부등호와 학생의 첫 계산을 나란히 놓았다.

교사는 “x=5에서 양변이 같은 경우도 ≤가 허용할까?”라고 짧게 물었다. 학생이 5를 대입해 보자 왼쪽은 2(5−1)=8, 오른쪽은 5+3=8이 되어 8≤8이 참이었다. 따라서 x=5는 제외할 값이 아니라 해에 포함될 수 있는 경계였다. 이 질문에 대한 설명과 오답의 첫 판단을 비교하면, 계산 전부가 틀렸다기보다 등호를 마지막까지 유지하지 않은 지점이 먼저 드러난다.

등호를 끝까지 남기는 수정 풀이

교사는 “작거나 같다에는 경계 5가 포함된다”는 관계만 설명하고, 이어지는 식은 학생이 직접 완성하게 했다. 학생은 괄호를 먼저 풀어 2x−2≤x+3이라고 다시 적었다. 양변에서 x를 빼면 x−2≤3이고, 양변에 2를 더해 x≤5를 얻는다. 처음 답안의 x<5와 달라진 부분은 숫자 5가 아니라 부등호의 등호이다. 분배와 같은 항의 정리는 유지했지만, 원래 조건에 있던 ≤를 풀이 끝까지 보존했다.

학생은 최종 답을 “x≤5”라고 말한 뒤, 경계가 실제로 포함되는지 따로 확인했다. x=5를 원래 식에 넣으면 왼쪽은 8, 오른쪽도 8이므로 8≤8이 참이다. 반대로 경계를 넘어선 x=6을 대입하면 왼쪽은 2(6−1)=10, 오른쪽은 6+3=9가 되어 10≤9는 거짓이다. 본풀이의 계산을 그대로 반복하지 않고 경계값과 그 바깥의 값을 대조하자, 해가 x≤5라는 판단 근거가 분명해졌다.

부등호를 바꾼 새 조건에서 경계 비교하기

이제 조건을 바꾼 2(x−1)>x+3을 제시했다. 괄호를 분배하면 2x−2>x+3이고, 양변에서 x를 빼고 2를 더해 x>5가 된다. 분배하고 같은 항을 정리하는 원리는 앞에서와 같지만, ≤가 >로 바뀌었기 때문에 해가 경계의 반대편에 놓인다. x=6을 대입하면 10>9로 참이고, x=5는 양변이 같아 5>5가 성립하지 않으므로 해에서 제외된다.

다음 확인에서는 원래 문제 2(x−1)≤x+3의 풀이 부분만 가리고, 학생이 부등호의 등호를 끝까지 유지해 x≤5를 혼자 완성하게 한다. 막힐 때 제공할 도움은 “작거나 같다에는 경계 5가 포함된다”는 말까지로 제한한다. 완성한 뒤에는 x=5에서 8≤8, x=6에서 10≤9가 되는지 학생이 직접 대입해 원래 조건을 만족하는지 확인하는지, 그리고 정답뿐 아니라 등호를 남긴 이유를 설명하는지를 기록한다.