분평동 고등수학과외

배움노트 고등수학 수업에서는 복소수 범위에서 $z^2=-9$의 모든 해를 구하는 문제를 통해, 계산 결과뿐 아니라 조건을 끝까지 확인하는 과정을 살핀다. 이렇게 답했다면 어떨까? $z=3i$만 적었다면 한 해는 찾았지만 “모든 해”라는 요구에는 아직 답하지 못한 상태다. 이때 바로 개념을 단정하지 않고, 처음 식에서 어느 판단이 빠졌는지 확인하는 질문부터 시작한다.

빠진 해를 확인하는 질문과 조건 대조

교사는 “$(-3i)^2$도 $-9$인가?”라고 묻고, 학생이 직접 $(-3i)(-3i)=9i^2=-9$를 계산해 표시하게 한다. 이 계산에서 $-3i$ 역시 조건을 만족한다는 사실을 확인할 수 있다. 만약 학생이 실수에서 제곱근을 하나의 양수로만 생각했다면, 그 규칙을 복소수 문제에 무리하게 옮긴 것인지 살핀다. 또는 $i^2=-1$을 적용하는 과정에서 음수 부호와 두 가능성을 놓쳤는지도 구분한다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 직접 계산한 값과 원래 식을 대조하게 하는 이유다.

인수분해로 두 경우를 남기는 수정 풀이

복소수의 제곱근 기호를 실수에서의 표현과 같은 방식으로만 해석하지 않도록, 방정식 자체를 정리한다. $z^2=-9$를 $z^2+9=0$으로 옮기면 $z^2+9=(z-3i)(z+3i)$이다. 곱이 0이 되려면 각 인수 중 하나가 0이어야 하므로 학생은 다음 두 등식을 직접 작성한다. $z-3i=0$, $z+3i=0$. 따라서 각각 $z=3i$, $z=-3i$를 얻는다. 이 과정은 제곱근 기호에서 답을 추측하는 절차가 아니라, 이차방정식의 두 인수를 빠짐없이 확인하는 절차다.

수정한 뒤에는 두 값을 원래 식에 다시 대입한다. $(3i)^2=9i^2=-9$, $(-3i)^2=9i^2=-9$이므로 두 수 모두 성립한다. 최종 답은 $z=\pm3i$이고, “모든 해”라는 조건에도 맞는다. 특히 $3i$와 $-3i$는 서로 부호만 다른 두 수이므로, 하나를 찾았다는 이유로 다른 하나를 제외하지 않아야 한다.

조건을 추가했을 때 해를 고르는 순서

기본 문제의 풀이를 기억한 것인지 확인하려면 같은 식의 표현만 바꾸지 않고 조건을 실제로 추가한다. 예를 들어 복소수 $z$에 대해 $z^2=-9$이고 $z$의 허수부분이 양수일 때 $z$를 구한다고 하자. 먼저 제곱방정식의 두 해를 모두 구해 $z=3i,-3i$를 남긴다. 그다음 허수부분을 각각 표시하면 $3$과 $-3$이다. 허수부분이 양수라는 조건은 $3>0$만 만족하므로 $z=3i$가 남는다. 실제로 $(3i)^2=-9$이고 허수부분도 3이지만, $-3i$는 추가 조건에 맞지 않는다.

마지막에는 처음 오답의 결론을 식으로 바꾸어 적게 한다. “$z=3i$만 가능하다”가 아니라, 먼저 $z=\pm3i$를 구한 뒤 조건으로 $z=3i$를 선택했다고 표시하는 방식이다. 부호가 계속 혼동되면 $i, i^2, i^3, i^4$의 값을 직접 계산하고, $3i$와 $-3i$가 켤레복소수이며 곱이 $9$임도 확인한다. 이후 문제를 다시 볼 때는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 두 해를 구한 뒤 추가 조건을 대조하는 순서를 스스로 재현하게 한다.