죽림동 고등수학과외

돌려놓지 않는 추출에서 조건 표시하기

확률과 통계에서 다음과 같은 풀이를 먼저 제시해 보자. 빨강 공 2개와 파랑 공 2개가 들어 있는 상자에서 공을 돌려놓지 않고 두 번 균등하게 뽑는다. 빨강이 나온 횟수를 X라 할 때, “첫 번째 빨강이 나올 확률이 1/2이므로 X는 B(2, 1/2)이다”라고 답했다면 계산에 앞서 조건 표시가 빠진 것이다. 이항분포는 성공과 실패를 정하고, 같은 성공확률의 독립시행을 정해진 횟수 반복한 뒤 성공 횟수를 세는 분포다. 따라서 횟수가 두 번이라는 사실만으로는 충분하지 않다. 특히 이 문제는 공을 돌려놓지 않으므로 첫 번째 결과가 두 번째 추출의 구성과 확률에 영향을 준다.

오답의 원인을 질문으로 나누어 확인하기

이 한 문장만 보고 학생이 횟수, 성공확률, 독립 조건 중 무엇을 놓쳤는지 바로 단정하지 않는다. 기대되는 빨강의 횟수와 특정 횟수가 나올 확률을 혼동했는지도 따로 살핀다. 먼저 “첫 번째 공이 빨강이었다면 둘째 공이 빨강일 확률도 1/2인가?”라고 묻고, 학생이 남은 공의 색과 개수를 직접 표시하게 한다. 첫 추출이 빨강이면 남은 공은 빨강 1개와 파랑 2개이므로 둘째 빨강 확률은 1/3이다. 처음부터 파랑이었다면 둘째 빨강 확률은 2/3이다. 학생은 각 경우의 분모가 달라지는지, 두 번째 확률이 첫 결과와 무관하게 유지되는지 계산표에 적고 대조한다. 이 과정을 거쳐야 ‘독립이 아니다’라는 결론을 자신의 문장으로 설명할 수 있다.

실제 확률과 이항분포의 값을 대조하기

학생이 조건을 표시한 뒤에는 이항분포라고 가정했을 때의 값과 실제 추출의 값을 나란히 비교한다. 빨강이 두 번 나오는 실제 확률은 첫 번째 빨강 2/4에 이어 남은 빨강 1/3을 곱한 1/6이다. 반면 B(2, 1/2)에서 두 번 성공할 확률은 (1/2)²=1/4이다. 두 값이 다르므로 X는 B(2, 1/2)가 아니다. 학생의 수정 풀이는 “복원하지 않으므로 두 번째 성공확률이 달라지고 독립시행이 아니다. 따라서 이항분포가 아니며 P(X=2)=1/6이다”처럼 조건과 결론을 함께 써야 한다. 필요하다면 실제 분포도 P(X=0)=1/6, P(X=1)=2/3, P(X=2)=1/6으로 계산해 합이 1인지 확인한다.

이후에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 채 다시 시작한다. 이번에는 같은 빨강 2개와 파랑 2개에서 매번 공을 돌려놓고 섞어 두 번 뽑는 상황으로 조건을 바꾼다. 학생은 먼저 ‘복원’이라는 변화를 표시한 뒤 매회 빨강 확률이 1/2이고 시행이 독립임을 확인한다. 따라서 X~B(2, 1/2), P(X=2)=1/4이며 전체 확률은 1/4, 1/2, 1/4로 합이 1이다. 표현만 바뀐 것인지 실제 조건이 바뀐 것인지 구별하고, 다음 문제에서도 이항식부터 대입하지 않고 시행 횟수·성공확률·독립성을 먼저 점검하게 한다.