성화동 고등수학과외

두 결과를 나란히 놓고 같은 원소를 확인하기

집합의 연산을 다룰 때는 식을 빠르게 계산하기보다 각 원소가 실제로 몇 번 등장하는지와 어떤 조건을 만족하는지를 먼저 확인해야 한다. 성화동에서 고등수학을 공부하며 다음 문제를 만났다고 하자. A={1,2,3}, B={3,4}의 합집합과 원소 수를 구하는 문제다. 이렇게 답했다면 A∪B={1,2,3,3,4}이므로 원소가 5개라고 세게 된다. 그러나 원소를 나열한 결과와 원소 수를 세는 결과가 서로 어긋난다. 이때 곧바로 식을 고치기보다 “같은 원소 3을 두 번 적으면 집합의 원소 수가 늘어나는가?”라고 묻는다. 3이 A와 B에 모두 속한다는 사실을 두 번 기록한 것인지, 실제로 서로 다른 원소가 두 개인 것인지 구분해야 한다.

원소와 조건을 직접 표시하며 합집합 다시 쓰기

학생이 질문에 답한 뒤에는 원소와 부분집합을 혼동했는지, ‘그리고’, ‘또는’, ‘아닌’이 적용되는 범위를 잘못 읽었는지 확인한다. 합집합 A∪B는 A 또는 B에 속하는 원소를 모으는 연산이므로, A에 있는 1, 2, 3을 먼저 적고 B에서 아직 나오지 않은 4를 덧붙인다. 공통 원소 3은 이미 표시되어 있으므로 다시 적지 않는다. 교사가 완성된 식을 대신 제시하고 끝내지 않고, 여기서 멈춰 학생이 조건을 반영한 다음 줄을 직접 잇게 한다. 학생은 A∪B={1,2,3,4}, 원소 수 4라고 수정해 쓴다. 이 결과는 단순히 목록의 모양을 바꾼 것이 아니라, 집합에서는 같은 원소를 중복해서 세지 않는다는 정의를 반영한 것이다.

정답은 A∪B={1,2,3,4}, 4개이다. 부분적인 검산으로도 확인할 수 있다. A의 원소 수는 3, B의 원소 수는 2이고, 공통 원소는 3 하나이므로 n(A)+n(B)−n(A∩B)=3+2−1=4이다. 두 집합의 원소 수를 그대로 더하면 공통 원소를 한 번 더 세게 되므로 교집합의 원소 수를 빼야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서 이런 문제를 다룰 때도 답만 맞추는지보다, 공통 원소를 왜 한 번만 남겼는지 설명하고 식과 목록을 서로 대조하는지가 중요하다.

표현이 바뀌어도 소속 조건으로 다시 검증하기

같은 문제를 다시 확인할 때는 문제와 조건만 남기고, 앞서 쓴 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 합집합을 다시 구한 뒤 계산 결과와 성립 조건을 각각 적는다. 다음에는 표현만 바꾸는 데 그치지 않고 실제 연산 조건이 달라지는 문제를 적용한다. A={1,2,3}, B={3,4}일 때 A−B를 구하는 문제에서는 A의 원소 중 B에도 속한 3을 제외해야 한다. 따라서 남는 1과 2를 모아 A−B={1,2}로 쓴다. 각 원소가 A에는 속하고 B에는 속하지 않는지 직접 표시하면 정답을 확인할 수 있다. 기호만 처리하다 막히면 전체집합의 원소를 하나씩 적고 A와 B의 소속 여부를 표로 대조한다. 이렇게 문제의 조건, 풀이, 정답, 유도 과정을 분리해 확인하면 중복을 세는 실수와 차집합에서 제외할 원소를 놓치는 실수를 함께 줄일 수 있다.