산남동 고등수학과외

사라진 조건부터 찾는 문제 읽기

“∫₀¹ 2x e^(x²) dx를 구하라.” 이 문제를 풀고 이렇게 답했다면, 먼저 계산 결과보다 오답에서 사라진 조건을 찾는다. 치환 u=x² 뒤에 ∫2u eᵘdu라고 적었다면, 2x dx가 어떻게 바뀌었는지 표시해 본다. 원래 적분에는 2x dx 전체가 있고, 이를 du로 바꾸면 남는 인자는 없어야 한다. 또 정적분이므로 x의 구간을 그대로 둔 채 계산할 것인지, 새 변수의 구간으로 바꿀 것인지도 확인해야 한다. 한 줄의 오답만으로 치환을 몰랐다고 단정하지 않고, “2x dx 전체를 du로 바꾸었는가?”, “원시함수와 정적분을 구별했는가?”, “x의 양 끝값을 u의 값으로 바꾸었는가?”를 차례로 묻는다.

식의 의미를 비교하며 수정하기

u=x²로 놓으면 du=2x dx이다. 따라서 x=0일 때 u=0, x=1일 때 u=1로 함께 적어야 한다. 그러면 주어진 적분은 ∫₀¹ eᵘdu가 된다. 반대로 오답인 ∫₀¹2u eᵘdu는 원래 식을 바꾼 결과가 아니라, 치환 뒤 u를 다시 곱한 별도의 적분이다. 실제로 이 식의 값은 2이므로 원래 적분의 값 e−1과도 다르다. 부분적분은 곱의 미분을 거꾸로 활용하는 방법이지만, 이 문제의 핵심은 안쪽 함수의 미분 인자를 함께 치환하는 것이다. 설명을 들은 뒤에는 교사가 결론까지 대신 쓰지 않고, 학생이 “du=2x dx이므로” 다음 단계와 적분값을 직접 완성하게 한다.

학생이 수정한 풀이는 ∫₀¹eᵘdu=[eᵘ]₀¹=e−1이다. 이 값은 치환 과정과 새 경계가 모두 반영된 결과다. 검산할 때는 원시함수 e^(x²)를 직접 미분하여 2x e^(x²)가 되는지 확인하고, 원래 x의 끝점 0과 1을 대입해 e−1을 얻는 방법도 사용한다. 이 검산은 특정 수치 하나에 기대는 것이 아니라, 미분과 정적분의 기본 관계가 성립하는지 확인하는 절차다. 정의역에서는 e^(x²)가 모든 실수에서 정의되므로 주어진 구간의 계산에도 문제가 없다.

표현이 달라져도 조건을 옮기는 연습

이제 풀이와 정답, 유도 표시를 가린 채 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 먼저 ∫2x cos(x²) dx, x∈R을 보고 정적분 경계가 없는 부정적분임을 표시한다. du=2x dx이므로 ∫cos u du=sin u+C이고, 원래 변수로 돌아가면 sin(x²)+C, C∈R이다. 미분하면 cos(x²)·2x로 원식이 정확히 복원된다. 앞 문제와 안쪽 함수의 미분을 함께 바꾸는 원리는 같지만, 이번에는 양 끝값을 바꿀 정적분 구간이 없다는 점이 다르다. 반대로 처음 문제처럼 정적분이라면 u의 양 끝값을 반드시 남겨야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 수정 전후 풀이를 섞어 놓고 학생이 순서를 복원하게 한 뒤, 표현만 바뀐 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구별하며 선택 이유를 말하게 한다. 결과가 의심될 때는 부정적분은 미분하고, 정적분은 새 경계와 부호를 다시 대조한다.