분평동 수학과외

대표 문제와 5개로 센 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A={1, 2, 3}, B={3, 4}일 때 A∪B를 구하는 문제입니다. 학생이 A의 원소 1, 2, 3과 B의 원소 3, 4를 모두 적은 뒤, “서로 다른 원소가 5개이므로 합집합의 원소 수는 5개”라고 판단했다면 오답입니다. 합집합은 A 또는 B에 속하는 원소를 모아 나타내는 것이지만, 두 집합에 함께 들어 있는 원소를 새로운 원소처럼 한 번 더 만들지는 않습니다. 여기서 두 번 적힌 3은 두 개의 원소가 아니라 같은 원소의 중복 표시입니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “B의 3은 A의 3과 다른 원소인가요?”, “두 집합에서 같은 원소를 찾으면 합집합에 몇 번 적어야 하나요?”라고 묻습니다. 학생이 3을 두 번 적은 이유를 말하지 못하더라도, 두 집합의 원소를 하나씩 함께 살피며 어느 판단에서 달라졌는지 확인할 수 있습니다. 합집합의 원소를 직접 써 보는 방법과 원소의 개수를 세는 방법을 구분해 보면서, 개념을 설명할 수 있지만 이 문제에 적용하지 못한 것인지, 아니면 합집합의 뜻 자체를 아직 혼동하는지 나누어 살핍니다.

공통 원소를 확인하며 풀이를 고치는 과정

교사는 먼저 A의 원소를 그대로 적습니다. A={1, 2, 3}입니다. 이어 B의 원소 3, 4를 붙일 때, 이미 3이 적혀 있는지 확인하게 합니다. 3은 A와 B에 모두 속하므로 A∪B에 한 번만 남기고, 아직 나오지 않은 4만 추가합니다. 따라서 A∪B={1, 2, 3, 4}입니다. 이때 1, 2, 3, 4는 합집합에 포함되는 서로 다른 원소이고, 문제에서 구하는 값은 이 네 원소로 이루어진 집합이지 중간에 적은 숫자의 총개수가 아닙니다.

설명이 한 번에 어렵다면 교사가 A와 B를 이어 적는 단계까지 함께 보여 준 뒤, 학생에게 B의 원소를 하나씩 확인하게 합니다. 학생은 처음의 “3을 두 번 세어 5개”라는 판단을 “3은 두 집합에 공통으로 들어 있으므로 한 번만 적고, B에서 새로 나온 4만 더한다”로 고칩니다. 이후 수정한 판단을 실제 식에 반영해 A∪B={1, 2, 3, 4}를 완성합니다. 단순히 3에 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 왜 3을 한 번만 쓰는지와 최종 합집합이 무엇인지 직접 말하고 적어 보는 과정이 필요합니다.

풀이를 가리고 다시 시작하는 검산

검산할 때는 앞서 쓴 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건 A={1, 2, 3}, B={3, 4}만 보이게 한 뒤 다시 시작합니다. 먼저 두 집합에 나타난 서로 다른 원소를 모으면 1, 2, 3, 4 네 개입니다. 공통 원소는 3 하나이므로 3을 두 번 세어 다섯 개로 만들 수 없습니다. 이렇게 원소 목록을 다시 확인하면 계산을 반복하는 대신, 중복된 원소를 한 번만 처리했는지 점검할 수 있습니다.

학생이 다시 풀다가 막히면 교사는 개념을 다시 설명해야 하는지, 두 집합에서 같은 원소를 찾는 과정에서 막힌 것인지 확인해 도움의 정도를 조절합니다. 다른 방식으로 풀더라도 A와 B에 속하는 원소를 빠짐없이 모으고 공통 원소를 중복하지 않는다는 조건과 결과가 맞으면 인정할 수 있습니다. 다음 확인에서는 학생이 풀이를 보지 않고도 3의 역할을 설명하며 합집합을 다시 구성하는지를 살펴봅니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 이전 문제와 구분되는 새 문제를 봅니다. A={a, b, c}, B={b, c, d}의 합집합을 중복 없이 쓰는 문제입니다. 숫자 대신 문자를 사용했지만, 두 집합에 공통으로 들어 있는 b와 c를 한 번씩만 적는다는 판단은 같습니다. A의 원소를 적은 뒤 B에서 아직 나오지 않은 d를 추가하므로 A∪B={a, b, c, d}입니다. b와 c를 두 번 적지 않는 것이 이 문제의 핵심 근거입니다.

필요하면 다음 비교 문제로 “두 집합의 원소 수를 더하면 언제나 합집합의 원소 수인가?”를 확인할 수 있습니다. A={1, 2}, B={2, 3}에서는 각각의 원소 수를 더하면 2+2=4이지만, 공통 원소 2를 중복 집계한 결과입니다. 실제 합집합은 {1, 2, 3}이므로 원소 수는 3개입니다. 다만 이 비교는 새 문제를 먼저 스스로 해결한 뒤, 공통 원소가 있을 때 단순히 두 원소 수를 더할 수 없는 이유를 설명할 수 있는지 확인하는 자료로 사용합니다.