비래동 고등수학과외

예시 오답과 검산 결과를 나란히 보기

이차함수의 최대·최소를 구할 때 꼭짓점을 찾았다는 이유만으로 곧바로 답을 정하면 안 된다. 예를 들어 f(x)=x²−4x+1, 0≤x≤5에서 “완전제곱식으로 바꾸면 f(x)=(x−2)²−3이므로 꼭짓점 x=2에서 −3이 최댓값”이라고 답했다면, 꼭짓점의 함숫값과 구하려는 극값의 종류를 혼동한 것이다. 제곱항의 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리고, 꼭짓점은 가장 낮은 값의 위치가 된다. 실제로 끝점을 대입하면 f(0)=1, f(5)=6이므로 두 결과는 달라진다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 오답과 검산값을 함께 놓고, 어느 문장에서 판단이 바뀌었는지 확인한다.

계수의 부호와 정의역을 직접 표시하기

풀이를 바로 고치기 전에 “완전제곱식의 제곱항 계수는 양수인가 음수인가?”라고 묻는다. 학생이 “양수”라고 답한 뒤, 꼭짓점이 최소 후보라는 사실을 식 위에 화살표로 표시하게 한다. 다음에는 꼭짓점의 x=2가 정의역 [0,5] 안에 있는지 수직선에 표시하고, 그 점이 최대 후보인지 최소 후보인지 구분한다. 여기서 교사가 끝까지 계산해 주지 않고 “최댓값을 찾으려면 구간의 어느 점도 비교해야 할까?”라고 질문하면, 학생은 끝점 f(0), f(5)를 직접 계산해 조건을 풀이에 연결할 수 있다. f(0)=1, f(5)=6을 비교하면 최댓값은 6이고 x=5에서 얻어진다. 부분 검산으로는 충분하지만, 구간 전체의 근거도 필요하다. [0,5]에서 |x−2|≤3이므로 (x−2)²≤9, 따라서 f(x)≤9−3=6이며 x=5에서 등호가 성립한다.

표현과 조건을 바꾼 문제에 다시 적용하기

기본 문제의 문제·조건과 필요한 계산 자료만 남기고 풀이와 정답 표시는 가린 상태에서 먼저 다시 시작한다. 답을 외운 것인지 확인하려면 표현만 바꾸는 데 그치지 않고 실제 조건도 바꾼다. 다음 문제를 풀어 보자. f(x)=−(x−1)²+4, −1≤x≤2일 때 최솟값을 구하라. 제곱항의 계수가 음수이므로 포물선은 아래로 열리고, 꼭짓점 x=1에서는 최댓값이 나온다. 따라서 최솟값은 꼭짓점에서 가장 먼 허용 끝점 후보를 비교해야 한다. 학생이 직접 f(−1)=0, f(2)=3을 계산하면 최솟값은 0, x=−1이다. 또한 구간에서 |x−1|≤2이므로 (x−1)²≤4이고, f(x)=4−(x−1)²≥0이다. 왼쪽 끝점에서 0이 실제로 달성되므로 결론이 성립한다. 마지막에는 처음 오답의 “−3이 최댓값”이라는 결론에 어떤 부호와 문장을 바꿔야 하는지 식으로 표시하게 한다. 이후에는 꼭짓점을 무조건 답으로 고르지 않도록 꼭짓점과 허용된 끝점을 한 수직선에 놓고, 포물선의 열린 방향과 구할 극값을 함께 점검한다.