송촌동 고등수학과외

벡터 등식에서는 성분을 한꺼번에 더해 비슷한 수를 만드는 것만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 실수 s,t에 대해 s(1,2)+t(2,1)=(5,4)일 때, 두 성분의 합만 보면 왼쪽 계수의 합을 이용해 s+t=3이라고 생각할 수 있다. 이렇게 답했다면 s=0,t=3을 얻지만, 실제로는 0(1,2)+3(2,1)=(6,3)이 되어 주어진 (5,4)와 다르다. 이 반례는 성분 합만 맞추는 풀이가 두 좌표의 조건을 동시에 처리하지 못한다는 점을 보여 준다.

두 성분 등식이 각각 맞는지 먼저 표시하기

배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만 보고 원인을 바로 정하지 않는다. 먼저 화살표의 시작점과 끝점을 혼동한 것인지, 벡터의 크기와 성분 연산을 같은 것으로 본 것인지 나누어 확인한다. 학생은 주어진 등식의 첫째 성분과 둘째 성분을 따로 표시하고, 각각 어떤 식이 되는지 직접 적는다. (s+2t, 2s+t)=(5,4)이므로 s+2t=5, 2s+t=4가 동시에 성립해야 한다. 두 식 중 하나만 맞는지, 두 식 모두 맞는지 계산 결과 옆에 구분해 쓰면 단순한 수의 합과 벡터 등식의 조건 차이가 드러난다.

위치벡터의 방향과 성분을 연결해 수정하기

벡터는 크기와 방향을 함께 가지며 평행이동해도 같은 벡터로 본다. 위치벡터의 차는 두 점 사이의 방향벡터를 만들므로, 화살표의 시작점과 끝점을 먼저 정하면 성분의 부호와 순서를 확인하기 쉽다. 제시된 기본 문제는 두 성분을 비교해 연립방정식을 세우는 문제다. 학생이 직접 s+2t=5, 2s+t=4를 연립하면 첫 식에서 s=5−2t이고, 이를 둘째 식에 대입해 10−4t+t=4, 따라서 t=2, s=1을 얻는다. 수정한 풀이에서는 성분 비교, 연립, 대입, 성립 여부 확인의 순서를 학생이 직접 표시한다.

계산 뒤에는 답을 식에 다시 넣는다. (1,2)+2(2,1)=(1,2)+(4,2)=(5,4)이므로 두 성분이 동시에 맞고, s=1,t=2가 주어진 등식을 만족한다. 반대로 s=0,t=3은 (6,3)을 만들기 때문에 정답이 될 수 없다. 수치 대입은 풀이 전체를 대신하는 근거가 아니라, 얻은 값이 두 조건을 함께 만족하는지 확인하는 검산으로 사용한다.

표현을 바꾼 문제와 조건을 바꾼 문제를 구별하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. a=(1,−2)일 때 −3a의 성분·크기·방향 관계를 구하면, 실수배의 성분은 −3배이므로 −3a=(−3,6)이다. 크기는 배율의 절댓값만큼 변해 |−3|‖a‖=3√5가 되고, 음의 배율이므로 a와 반대 방향이다. 성분으로 다시 계산해 √(9+36)=√45=3√5인지 확인한다. 이는 벡터 등식의 미지수 배율을 찾는 기본 문제와 표현은 다르지만, 성분을 비교하고 크기와 방향을 분리해 판단한다는 공통점이 있다. 이후 수정 전후 풀이를 섞어 제시하고 올바른 순서를 복원하게 하며, 다른 조건의 등식에서도 왜 두 성분을 각각 비교했는지 설명하게 한다.