석봉동 고등수학과외

조건을 표시하지 않은 풀이에서 출발하기

배움노트 고등수학 수업에서는 조건부확률 문제를 풀 때 식을 빠르게 고르는 것보다, 조건이 주어진 뒤 무엇이 남는지 먼저 표시한다. 빨강 공 3개와 파랑 공 2개가 있고, 같은 크기의 공을 하나씩 균등하게 뽑은 뒤 돌려놓지 않는다고 하자. 첫 공이 빨강일 때 둘째도 빨강일 확률을 묻는 문제다. 이렇게 답했다면 “처음과 같으니 3/5”라고 쓸 수 있다. 그러나 첫 공을 이미 뽑았다는 조건을 반영하지 않아, 조건이 주어진 뒤의 전체를 그대로 둔 풀이가 된다.

이 한 번의 오답만으로 계산 실수인지, 조건과 사건의 방향을 바꾼 것인지 단정하지 않는다. 먼저 학생에게 “빨강 하나를 뽑은 뒤 남은 빨강과 전체 수는?”이라고 묻고, 남은 공을 직접 표시하게 한다. 첫 빨강을 따로 동그라미 친 뒤 남은 빨강 2개와 파랑 2개를 각각 적고, 전체가 4개가 되었는지 학생 스스로 세어 보게 한다.

조건에 해당하는 범위로 식을 고쳐 쓰기

P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이다. P(A)>0일 때 정의되며, 시간적 순서나 원인이라는 뜻으로 해석하는 기호가 아니다. 따라서 첫 공이 빨강이라는 조건을 반영하면 둘째 공을 뽑을 때 가능한 공은 빨강 2개와 파랑 2개다. 학생이 표를 사용한다면 조건에 해당하는 행이나 집합만 둘러 표시하고, 그 범위 안에서 둘째가 빨강인 경우를 세게 한다.

교사는 남은 공의 수를 대신 말해 주기보다 중간 결과를 함께 확인한 뒤 최종 판단을 학생의 문장으로 쓰게 한다. 학생이 “조건을 적용한 뒤 전체 4개 중 빨강 2개가 남았다”고 정리하면, 수정 계산은 2/4=1/2가 된다. 정답은 1/2이다. 남은 네 공이 같은 가능성을 가지므로, 조건에 맞는 표본공간에서 빨강인 경우 2개와 전체 경우 4개를 비교하는 방식으로도 확인할 수 있다.

돌려놓는 조건을 바꾸어 다시 대조하기

다음 점검에서는 문제와 필요한 수치는 남기고 풀이와 정답 표시만 가린다. 첫 추출의 결과가 빨강이라는 조건은 그대로 두되, 이번에는 뽑은 공을 매번 돌려놓고 충분히 섞는다. 빨강 3개와 파랑 2개의 공에서 첫 공이 빨강일 때 둘째도 빨강일 확률을 다시 묻는다. 학생은 “빨강 하나를 뽑은 뒤 남은 빨강과 전체 수는?”에 답한 뒤, 이번에는 복원되어 빨강 3개와 전체 5개가 다시 된다는 점을 직접 표시해야 한다.

따라서 계산은 3/5이고 정답도 3/5이다. 첫 추출 뒤 구성이 원래대로 복원되므로 둘째 추출의 구성은 첫 추출 전과 같고, 첫 결과에 따라 확률이 바뀌지 않는다. 앞의 문제와 식이 달라진 까닭은 표현의 변화가 아니라 공을 돌려놓는 실제 조건의 변화다. 학생이 분모를 다시 혼동하면 조건에 해당하는 범위만 둘러 표시하고, 두 문제의 남은 공을 나란히 대조하게 한다. 이후에는 해설을 가린 상태에서 남은 공, 분모, 빨강의 개수를 문장과 식으로 모두 적는지 확인한다.