대연동 고등수학과외

다항함수의 미분을 공부할 때 f(x)=x²(x+1)의 도함수를 구하라는 문제에서 이렇게 답했다면 풀이의 구조부터 살펴볼 필요가 있다. f′(x)=(2x)·1=2x라고 적은 결과와, 원함수를 전개해 얻은 도함수를 나란히 놓으면 두 식이 다르다. 이 차이를 보고 곧바로 지수 내리기 규칙을 모른다고 단정하지 않는다. “곱의 한쪽만 변하는 두 항을 모두 적었는가?”라고 먼저 묻고, 학생이 원식의 두 인자와 각각의 변화를 직접 표시하게 한다.

두 인자가 있는 식에서 빠진 항 확인하기

x²와 x+1이 곱해진 식에서는 첫 번째 인자만 미분한 항 2x(x+1)과, 두 번째 인자만 미분한 항 x²·1을 모두 적어야 한다. 따라서 곱의 미분을 적용하면 f′(x)=2x(x+1)+x²·1이 된다. 여기서 교사가 곧바로 끝까지 정리해 주기보다, 학생이 괄호를 유지한 채 다음 줄을 이어 쓰게 한다. 이때 x²을 x의 제곱으로 읽고 지수를 내리는 과정이 가능한지, 또는 곱의 구조를 합처럼 한쪽 항만 처리하고 있는지를 확인할 수 있다.

학생의 수정 풀이와 전개를 통한 대조

학생이 두 항을 다시 적은 뒤 정리하면 2x(x+1)+x²=2x²+2x+x²=3x²+2x이다. 처음의 2x와 달리 두 인자가 각각 변화한 경우가 함께 반영되었다. 검산은 특정 값을 대입해 우연히 맞는지를 보는 데 그치지 않고 식의 전개로 확인한다. 원함수는 x²(x+1)=x³+x²이므로 항별로 미분하면 f′(x)=3x²+2x가 되어 수정 풀이와 일치한다. 다항함수는 모든 실수 x에서 정의되므로 별도의 제한 없이 이 도함수가 성립한다. 처음 오답에서 바꿔야 할 결론은 ‘2x’가 아니라 ‘두 항을 모두 포함한 3x²+2x’라는 식으로 직접 표시하게 한다.

표현이 바뀌어도 구조를 다시 적용하기

답을 기억한 것인지 구별하려면 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 조건만 남겨 독립적으로 다시 시작한다. 예를 들어 f(x)=(x²−1)(x²+1)의 도함수를 구하라고 하면, 이번에는 곱을 전개한 뒤 다항식으로 미분하는 방법을 선택할 수 있다. 먼저 (x²−1)(x²+1)=x⁴−1로 정리하면 f′(x)=4x³이다. 전개 과정에서 −x²+x²가 없어지는 것을 확인해야 한다. 같은 결과는 곱의 미분으로도 확인된다. 2x(x²+1)+(x²−1)2x를 정리하면 4x³이 된다. 같은 원리를 유지하되 식의 조건과 모양이 달라졌으므로, 두 인자를 표시하고 각각 미분한 항을 빠짐없이 적었는지 다음 풀이에서도 점검한다. అధికార