대사동 고등수학과외

“2e^(2x)+C.” 이렇게 답했다면, 먼저 답을 바로 맞고 틀렸다고 단정하기보다 식의 의미를 확인해야 한다. 문제는 x∈R에서 ∫e^(2x) dx를 구하는 것이므로, 구간의 양 끝값을 계산하는 정적분이 아니라 모든 실수에서 성립하는 원시함수를 찾는 부정적분이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 줄의 오답을 원인으로 확정하지 않고, 학생이 계수와 정의역을 직접 표시하며 어떤 단계에서 놓쳤는지 확인한다.

후보를 미분해 지수의 안쪽 계수 확인하기

먼저 “2e^(2x)+C를 미분하면 어떤 식이 되는가?”라고 묻는다. 학생이 직접 미분하면 (2e^(2x))'=4e^(2x)이므로 주어진 피적분함수 e^(2x)와 같지 않다. 이때 단순히 계수를 외우게 하기보다, 지수 안의 2x를 미분할 때 계수 2가 밖으로 나온다는 사실을 표시하게 한다. 따라서 원래 함수로 돌아오려면 그 계수를 한 번 보정해야 한다. 치환적분으로 u=2x를 두면 du=2dx, 즉 dx=du/2가 되므로, 미분 인자에 남은 1/2를 빠뜨리지 않아야 한다. 부분적분은 곱의 미분을 거꾸로 사용하는 방법이므로, 이번처럼 지수함수의 안쪽 계수를 조정하는 상황과 구별한다.

학생이 적은 수정 풀이와 일반적인 검산

설명을 끝까지 대신 이어 주지 않고, u=2x와 dx=du/2까지 비교한 뒤 학생이 직접 계산하도록 한다. 학생은 ∫e^(2x)dx=1/2∫e^u du에서 출발해 1/2e^u+C를 얻고, u를 다시 2x로 바꾸어 (1/2)e^(2x)+C라고 적는다. 여기서 C∈R이며, x의 범위가 모든 실수이므로 별도의 구간 제한은 없다. 검산은 특정 값 하나를 대입하는 데 그치지 않고 원시함수를 미분하는 방식으로 한다. ((1/2)e^(2x)+C)'=(1/2)·2e^(2x)=e^(2x)이므로 주어진 식과 일치한다. 반대로 2e^(2x)+C는 미분 결과가 4e^(2x)라서 같은 원시함수가 아니다.

표현을 바꾼 문제에서 보정과 부호 다시 적용하기

다음에는 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 ∫sin(2x)dx를 다시 시작한다. x는 라디안이라는 조건도 함께 남긴다. 학생은 먼저 cos(2x)를 미분하면 −2sin(2x)라는 점을 직접 적고, 안쪽 계수 2를 보정하면서 부호도 맞추어 −(1/2)cos(2x)+C를 얻는다. 미분 검산은 −(1/2)(−2sin(2x))=sin(2x)이다. 앞 문제와 같은 것은 안쪽의 2를 보정하는 절차이고, 달라진 것은 삼각함수 원시함수의 부호다. 학생이 후보를 미분하면 계수 2가 한 번 더 생기는지, 부호가 반대로 남는지 스스로 대조하게 한다. 이후 정적분을 다룰 때에는 원시함수의 미분뿐 아니라 양 끝값을 대입하고 구간 방향에 따른 부호까지 확인한다.