대흥동 고등수학과외

행렬 문제에서는 결과의 모양이 비슷하다는 이유만으로 덧셈과 곱셈을 같은 뜻으로 처리하면 안 된다. 특히 단위행렬이 등장하면 “A와 계산해도 A가 나온다”는 기억이 연산의 종류를 가리는 경우가 있다. 다음과 같은 상황을 생각해 보자. A=[[2,−1],[3,0]], I=[[1,0],[0,1]]일 때 A+I와 AI를 구해야 한다.

같은 A가 나온 이유부터 다시 묻기

이렇게 답했다면 어떨까. A+I=AI=A. 이 답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 먼저 “단위행렬이 항등원인 연산은 덧셈인가, 곱셈인가?”라고 묻는다. 이어서 A+I에서 왼쪽 위 성분은 2+1인지, 2×1인지 직접 표시하게 한다. AI에서는 첫 성분이 A의 첫째 행과 I의 첫째 열을 이용한 2·1+(−1)·0인지 계산하게 한다. 두 결과가 모두 2처럼 보여도 계산의 근거와 나머지 성분을 확인해야 한다.

학생이 덧셈을 성분별로 계산하지 못한 것인지, 곱셈에서의 단위행렬 역할을 덧셈에도 옮긴 것인지 질문으로 나눈다. 덧셈은 같은 위치의 대응 성분끼리 계산하고, 곱셈은 행과 열을 대응시킨다. 단위행렬은 곱셈에서 AI=A를 만족하지만, A+I는 별도의 덧셈이다. 이 설명 뒤에는 교사가 결론까지 대신 말하지 않고, 학생이 다음 식을 완성하게 한다.

성분을 직접 채워 수정 풀이 확인하기

학생은 A+I에서 대각 성분에만 1을 더해 [[3,−1],[3,1]]을 얻고, AI는 각 열이 A의 해당 열과 그대로 대응됨을 계산해 [[2,−1],[3,0]]으로 고쳤다. 따라서 A+I=[[3,−1],[3,1]], AI=A이다. A+I의 네 위치를 원래 A와 하나씩 대조하면 왼쪽 위와 오른쪽 아래만 1씩 변하고, 나머지는 그대로임을 확인할 수 있다. AI는 첫째 열과 둘째 열이 각각 A의 열과 같으므로 A와 일치한다. 단순히 정답 모양을 외우는 것이 아니라 어느 연산의 정의가 그 결과를 만들었는지 말하게 하는 과정이다.

표현만 바꾼 문제와 조건이 실제로 달라진 문제도 구별해야 한다. 같은 행렬에 I를 더하거나 곱하는 것은 식의 표현을 바꿔 확인하는 연습이지만, 행렬 자체를 바꾸거나 곱셈의 결과가 영행렬이 되는 조건을 주는 것은 새로운 판단이 필요하다. 이 차이를 말로 설명한 뒤, 수정 전후 풀이를 섞어 놓고 단위행렬의 역할에 맞는 순서를 학생이 직접 복원하게 한다.

조건을 가린 상태에서 다시 적용하기

이제 풀이와 정답, 유도 표시를 가리고 다음 자료만 제시한다. A=[[1,0],[0,0]], B=[[0,0],[0,1]]이고 AB를 구한 뒤, AB=0이면 A=0 또는 B=0이라는 주장이 맞는지 판단한다. 학생은 먼저 첫 성분 1·0+0·0=0을 적고, 나머지 세 성분도 행과 열을 대응시켜 직접 계산한다. 네 성분이 모두 0이므로 AB=[[0,0],[0,0]]이다. 그러나 A의 (1,1) 성분과 B의 (2,2) 성분은 각각 1이어서 두 행렬 모두 영행렬이 아니다. 따라서 주장은 거짓이다.

이는 수의 곱에서 성립한다고 배운 영인수법칙을 행렬에 그대로 옮길 수 없다는 반례다. 마지막에는 다른 조건의 행렬을 주고 같은 판단을 반복하게 하며, 덧셈이나 행렬의 같음을 혼동하면 같은 위치의 성분 한 쌍부터 대응한 뒤 네 위치 전체로 넓힌다. 다음 점검에서는 풀이의 각 단계 옆에 사용한 연산과 조건을 표시하게 하여, 답이 아니라 근거를 선택했는지 확인한다.