중촌동 고등수학과외

“표준편차가 음수가 될 수 있는가?”라고 물었을 때 “아니요”라고 답했다면, 그 대답과 방금 적은 식을 나란히 놓고 살펴볼 필요가 있다. 표준편차가 3인 확률변수 X에 대하여 Y=−2X+1의 표준편차를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면, −2·3=−6이라는 계산이 출발점이 된다. 답의 부호가 질문의 개념과 맞는지 먼저 확인하고, 처음 쓴 식에서 무엇을 곱했는지 표시해 본다. 단순히 수치를 평균 내고 있는지, 확률을 곱한 가중합을 사용하고 있는지, 분산과 표준편차를 같은 양으로 읽고 있는지도 구분한다.

−6이라는 답과 표준편차의 정의 대조하기

확률분포에서는 각 확률이 0 이상이고 그 합이 1이다. 평균은 각 값에 확률을 곱해 더한 가중합이며, 분산은 평균에서 벗어난 차이를 제곱한 뒤 확률을 곱해 더한 값이다. 따라서 분산은 음수가 될 수 없고, 표준편차는 분산의 양의 제곱근으로 정하므로 음수가 될 수 없다. 여기서 상수 1은 모든 값에 똑같이 더해지는 이동이어서 편차의 크기를 바꾸지 않는다. −2를 곱하면 편차의 부호는 반대가 되지만 제곱할 때는 그 영향이 사라진다. 그러므로 V(Y)=(−2)²V(X)=4·3²=36이다. 교사는 이 기준과 식을 보여 주되, 학생이 실제로 제곱하고 답의 가능성을 선택하도록 기다린다.

학생이 수정 풀이를 세우고 정답을 검산하기

학생이 “분산이 36이므로 표준편차는 √36=6”이라고 직접 이어 썼다면, 처음의 −6과 달라진 이유를 말로 설명하게 한다. 표준편차의 변환은 일반적으로 σ(aX+b)=|a|σ(X)이므로 이 문제에서는 |−2|·3=6이다. 이는 특정 숫자를 대입한 결과만이 아니라, 평균에서의 편차가 −2배가 되고 그 절댓값 크기가 두 배가 된다는 사실에서 성립한다. 따라서 정답은 6이며, −6은 음의 실수배를 그대로 표준편차에 적용해 버린 값이다. 다만 이 답 하나만으로 확률 가중평균과 단순평균을 혼동한다고 단정하지 않는다. 확률의 합이 1인지, 평균과 분산의 정의를 각각 어떻게 적는지, 분산을 구한 뒤 제곱근을 취했는지를 추가로 확인한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업에서는 답보다 식의 의미와 검산 과정을 연결해 본다.

조건을 남긴 상태에서 다른 형태로 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 뒤 시작한다. “E(X)=2, E(X²)=7인 확률변수 X의 분산을 구하라”를 보고 학생이 먼저 V(X)=E((X−2)²)라고 세우는지 확인한다. 이를 전개하면 E(X²)−4E(X)+4=7−8+4=3이고, 단축식 E(X²)−{E(X)}²을 사용해도 7−2²=3이다. 두 방법이 같은 3을 주는지 대조하면서 분산과 표준편차를 섞지 않았는지 살핀다. 이후 음수 배율이 다시 등장하면 평균의 이동은 편차에 영향을 주지 않고, 평균으로부터의 거리에는 배율의 절댓값이 작용한다고 분리해 적는다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 달라진 문제인지 먼저 표시하고, 필요한 식을 처음부터 세워 계산한 경우에만 개념을 적용한 근거로 삼는다.