주안지구 고등수학과외

두 초점과 꼭짓점 사이의 거리를 먼저 계산하기

배움노트 고등수학 수업에서는 쌍곡선의 정의를 식에 바로 대입하기보다, 주어진 점과 두 초점 사이의 거리를 직접 계산하며 확인한다. 문제에서 쌍곡선 $x^2/9-y^2/16=1$의 두 초점 $F_1(-5,0), F_2(5,0)$와 꼭짓점 $P(-3,0)$가 주어지고 $|PF_1-PF_2|$를 구하라고 했다면, 먼저 표준형에서 $a^2=9,\ b^2=16,\ c^2=a^2+b^2=25$임을 확인한다. 따라서 초점의 좌표도 조건과 맞는다. 이제 좌표를 이용하면 $PF_1=2,\ PF_2=8$이다.

이렇게 답했다면 $PF_1-PF_2=2-8=-6$이므로 답도 $-6$이라고 적었을 수 있다. 이때 오답 하나만으로 개념 전체를 단정하지 않고, “문제에서 거리 차의 절댓값을 요구했는가?”라고 되묻는다. 처음 식에서 바깥 절댓값을 빠뜨렸는지, $a^2$와 $a$를 혼동했는지, 초점 거리의 합과 차를 바꾸었는지 차례로 확인한다. 학생은 식에서 절댓값 기호를 직접 표시하고, 계산한 두 거리를 문제의 표현과 대조해야 한다.

타원과 쌍곡선의 정의를 식으로 구분하기

타원에서는 두 초점까지 거리의 합이 일정하고, 쌍곡선에서는 두 초점까지 거리 차의 절댓값이 일정하다. 따라서 이 문제의 계산은 $|PF_1-PF_2|=|2-8|=6$으로 이어진다. 교사는 같은 말을 반복하기보다 학생이 다음 등식을 직접 완성하게 한다. $|PF_1-PF_2|=|2-8|=6=2a$. 여기서 $2a=2\cdot3=6$이므로 쌍곡선의 정의와도 일치한다. 정답은 6이다.

부호가 헷갈릴 때는 반대쪽 꼭짓점도 대조할 수 있다. $P(3,0)$에서는 두 초점까지 거리가 각각 8과 2가 되어 부호 있는 차가 6이고, $P(-3,0)$에서는 2와 8이 되어 부호 있는 차가 -6이다. 그러나 절댓값은 두 경우 모두 6이다. 그러므로 쌍곡선의 일정한 값은 방향에 따라 달라지는 부호 있는 차가 아니라 차의 절댓값이다.

표현이 바뀌어도 조건을 남겨 다시 판단하기

다음 확인에서는 문제와 조건만 남겨 두고, 풀이와 정답을 가린 상태에서 $F_1(-5,0),F_2(5,0)$일 때 $P(3,0),Q(-3,0)$에 대해 $PF_1-PF_2$와 $QF_1-QF_2$를 각각 구하게 한다. 학생은 먼저 각 점이 두 꼭짓점인지 표시한 뒤 거리를 계산해야 한다. $P$에서는 $8-2=6$, $Q$에서는 $2-8=-6$이므로 답은 각각 6과 -6이다. 다만 절댓값을 취하면 둘 다 6이며, 정의에 사용되는 값도 6이다.

여기서는 같은 개념의 표현이 바뀐 것과 실제 조건이 바뀐 것을 구별해야 한다. 점의 위치만 오른쪽과 왼쪽으로 달라졌다면 부호 있는 차는 바뀌지만 쌍곡선의 정의는 바뀌지 않는다. 반대로 절댓값이 없는 식을 요구했다면 부호까지 답에 포함해야 한다. 마지막에는 경계가 되는 꼭짓점과 제외되는 조건을 먼저 표시하고, 외형만 보고 판단하지 말고 실제 두 초점 거리를 계산해 정의와 대조한다. 달라진 점이 “거리 차에 절댓값이 붙었는지와 점의 위치가 바뀌었는지”라는 한 문장까지 쓰면 다음 문제에서도 판단 순서를 유지할 수 있다.