주안동 고등수학과외

예시 답안에서 “{1}은 A에 없으니 두 명제 모두 거짓이라 함.”이라는 한 줄을 보여 주며 시작한다. 문제는 A={1,2}일 때 1∈A와 {1}⊂A의 참·거짓을 판단하는 것이다. 여기서 ⊂는 부분집합을 뜻한다. 처음 답만 보고 개념을 단정하지 않고, 숫자 1과 집합 {1}이 같은 종류의 대상인지 먼저 묻는다. 두 기호가 비슷해 보여도 하나는 원소이고 다른 하나는 집합이므로, 비교하는 관계 자체가 다르다.

원소인지 집합인지 먼저 구분하기

학생이 “{1}은 A에 없으니 두 명제 모두 거짓”이라고 했다면 A의 원소를 실제로 1, 2라고 나열하게 한다. 그런 다음 첫 번째 명제에서는 숫자 1이 목록 안에 있는지 표시한다. 1은 A의 원소이므로 1∈A는 참이다. 두 번째 명제에서는 {1}이라는 집합의 모든 원소가 A에 속하는지 살핀다. {1}의 원소는 1 하나이고, 그 1이 A에 속하므로 {1}⊂A도 참이다. {1}이라는 집합 자체가 A의 원소 목록에 있어야 한다고 읽은 것이 오답의 출발점일 수 있다.

설명을 한꺼번에 끝내지 않고 첫 비교까지만 제시한 뒤 남은 판단은 학생이 적게 한다. 학생은 “1∈A도 참이고 {1}⊂A도 참이다”라고 수정 풀이를 쓴다. 교사는 A의 원소 목록과 부분집합의 정의를 따로 적용했는지 확인한다. 숫자 1과 집합 {1}을 각각 표시하고, 두 명제가 어떤 대상을 비교하는지 말하게 하면 기호를 외워 답하는지 개념을 구별하는지 확인할 수 있다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, ‘원소와 부분집합을 혼동했는가’, ‘그리고·또는·아닌의 범위를 잘못 읽었는가’를 질문으로 나누어 살핀다.

조건을 바꾸어 독립적으로 다시 확인하기

다시 적용할 때는 A={1,2}라는 문제와 ⊂가 부분집합이라는 조건만 남기고, 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 이번에는 ∅∈A와 ∅⊂A의 참·거짓을 판단한다. 먼저 A의 원소 목록에 ∅ 기호가 있는지 직접 표시한다. 없으므로 ∅∈A는 거짓이다. 다음에는 공집합의 원소를 살핀다. 공집합에는 원소가 없으므로 공집합의 모든 원소가 A에 속한다는 조건을 어길 원소도 없다. 따라서 ∅⊂A는 참이다.

이때 ‘공집합은 부분집합’이라는 문장과 ‘공집합이 A의 원소’라는 문장을 분리해 적는다. 정리하면 ∅∈A는 거짓, ∅⊂A는 참이다. 같은 기호를 반복한 것이 아니라 원소 관계와 부분집합 관계의 조건이 바뀐 것이다. 학생은 마지막 결론과 이유를 비워 둔 줄에 직접 채우고, 원소 목록과 부분집합의 정의를 각각 대조한다. 이어 다른 표현의 문제를 풀 때도 먼저 조건이 실제로 바뀌었는지 표시한다. 기호만 처리하다 막히면 전체집합의 원소를 하나씩 적고 소속 여부를 기록하면, 다음 점검에서도 원소와 부분집합을 안정적으로 구별할 수 있다.