관교동 고등수학과외

끝점의 위치를 거꾸로 판단한 경우

지수함수의 그래프와 범위를 함께 보는 문제에서는 구간의 양 끝값을 계산하기 전에 밑의 위치를 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 f(x)=(1/2)^x, -1≤x≤2의 최댓값과 최솟값을 구한다고 하자. 이렇게 답했다면 어떤 점에서 혼동했는지 살펴볼 수 있다. “오른쪽 끝에서 최대이므로 최댓값은 1/4, 최솟값은 2이다.” 이 풀이는 오른쪽으로 갈수록 값이 커진다고 본 것이다. 그러나 실제로 f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=1/2, f(2)=1/4이므로 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 값이 줄어든다. 따라서 최댓값과 최솟값의 순서가 오답과 반대가 된다.

오답 하나만 보고 곧바로 원인을 정하지는 않는다. 밑이 1보다 작을 때 감소한다는 성질을 몰랐을 수도 있고, 제한된 정의역의 끝점을 반대로 적용했을 수도 있다. 먼저 밑 1/2가 1보다 작은지 말로 표시하게 하고, 이어 f(0)과 f(1)을 직접 계산해 어느 값이 큰지 비교하게 한다. 두 결과가 1과 1/2로 나온다면 감소 여부를 계산으로 확인한 것이다. 그 뒤 이동이나 다른 조건이 붙은 문제에서도 정의역이 실제로 어디에서 어디까지인지 표시하게 하면, 그래프의 방향과 끝점 선택을 구분할 수 있다.

밑의 위치와 출력값을 따로 확인하기

밑이 1보다 크면 지수함수는 증가하고, 밑이 0과 1 사이이면 감소한다. 또한 지수함수의 출력값은 항상 양수이므로 f(x)=(1/2)^x의 값이 음수가 될 수 없다는 점도 함께 확인한다. 비교 자료로 밑이 2인 2^x와 밑이 1/2인 (1/2)^x의 값을 같은 x에 대입해 표로 적어 보면 값의 순서가 어떻게 달라지는지 분명해진다. 교사는 계산 결과, 증가·감소 성립 여부, 최댓값과 최솟값의 선택을 각각 나누어 적게 한다.

이제 학생이 직접 수정하면 f(-1)=2, f(2)=1/4를 계산하고, 밑이 0과 1 사이이므로 감소함수라는 사실을 연결한다. 따라서 구간 전체에서 최댓값은 2, 최솟값은 1/4이다. 이는 단순히 끝점을 외운 결과가 아니다. 감소함수에서는 왼쪽 끝의 함숫값이 오른쪽 끝의 함숫값보다 크다는 일반적인 성질로 설명할 수 있다. 중간의 값들도 2와 1/4 사이에 있으므로, 2, 1, 1/2, 1/4의 배열은 부분 검산 자료가 된다.

조건을 남긴 상태에서 순서를 다시 적용하기

풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 두고 다시 시작한다. f(x)=2^x, -1≤x≤2의 최댓값과 최솟값을 구하는 경우 먼저 밑 2가 1보다 크므로 증가함수임을 표시한다. 다음으로 f(-1)=1/2, f(2)=4를 계산한다. 증가함수이므로 최솟값은 1/2, 최댓값은 4이며, 모든 함숫값은 양수이고 구간 전체의 값은 두 끝 출력 사이에 놓인다. 같은 문제의 식만 바꾼 것이 아니라 밑의 조건이 바뀌었으므로 값의 순서도 달라진다.

수정 전후 풀이를 섞어 제시했을 때에는 감소함수의 끝점에 맞는 단계를 골라 순서를 복원하게 한다. 이어 밑이 1보다 큰 문제와 0과 1 사이인 문제를 번갈아 풀며, 왜 왼쪽 끝 또는 오른쪽 끝을 선택했는지 설명하게 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 최대·최소를 기계적으로 외우기보다 밑의 위치, 정의역의 양 끝, 직접 계산한 함숫값을 함께 확인하도록 하여 다음 문제에서도 선택 이유를 스스로 검산하게 한다.