용현동 고등수학과외

기본 문제의 답과 풀이를 가린 채 다시 시작해 보자. 문제는 양수 구간에서 ∫₁ᵉ 1/x dx를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “ln e−ln 1+C=1+C”라는 식이 어디에서 나왔는지 먼저 설명하게 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만 보고 원인을 정하지 않고, 학생이 적분의 종류와 조건을 직접 말하도록 확인한다.

정적분에서 같은 적분상수가 남는가?

먼저 “지금 구하는 것은 원시함수인가, 구간이 정해진 정적분인가?”라고 묻는다. 원시함수를 구할 때는 ln x+C를 쓸 수 있지만, 정적분은 원시함수의 양 끝값을 빼는 계산이다. 따라서 [ln x]₁ᵉ를 쓰면 (ln e+C)−(ln 1+C)가 되고, 같은 적분상수는 서로 소거된다. 학생은 식에 표시된 C를 직접 지우고, ln e=1과 ln 1=0을 대조해야 한다.

조건과 정의역을 식에 함께 표시하기

이 문제의 구간은 1≤x≤e로 양수이므로 1/x에서 분모가 0이 되지 않고 ln x가 정의된다. 치환적분을 사용한다면 미분 인자와 새 변수의 구간을 함께 바꿔야 하며, 부분적분은 곱의 미분을 역으로 사용하는 방법이라는 점도 구별한다. 그러나 여기서는 복잡한 기법보다 [ln x]₁ᵉ의 의미를 정확히 확인하는 것이 핵심이다. 학생이 후보 답을 고르면 원래 구간과 함수의 부호에 맞는지도 직접 대조한다. 구간 전체에서 1/x가 양수이므로 정적분값도 양수여야 하며, 1은 이 부호 조건과 맞는다.

답을 가린 상태에서 조건이 달라진 문제에 재적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 1/x의 원시함수라는 필요한 자료만 확인한 뒤, 음수 구간 x<0에서 ∫1/x dx를 처음부터 세우게 한다. 같은 함수의 표현만 바꾼 것이 아니라 정의역 조건이 달라졌으므로 로그의 진수도 다시 정해야 한다. 이 구간에서는 ln(−x)가 정의되고 체인룰에 따라 (ln(−x))′=(−1)/(−x)=1/x이다. 따라서 답은 ln(−x)+C, 또는 ln|x|+C이며 x<0, C∈R이라는 조건을 함께 남긴다.

마지막에는 “원시함수라서 C가 필요한가, 정적분이라서 양 끝값을 계산하는가?”를 묻고, 학생이 필요한 식을 스스로 세우게 한다. 결과가 의심되면 원시함수를 미분하고, 정적분은 양 끝값과 함수의 부호를 추가로 확인한다. 기본 답을 외운 것과 달라진 조건에 근거를 적용한 것은 구분해야 하며, 다음 점검에서도 문제·조건만 남긴 독립 재시도로 이 차이를 확인한다.