중산동 고등수학과외

양쪽 도함수가 같다는 풀이와 실제 함수값 비교

미적분Ⅰ에서 미분가능성을 판단할 때는 식을 미분한 뒤 도함수만 비교해서는 충분하지 않다. 다음과 같은 함수를 생각해 보자. f(x)=x²(x<0), f(x)=x²+1(x≥0)이고, x=0에서 미분가능한지 묻는 문제다. 이때 이렇게 답했다면 풀이를 멈추지 말고 “양쪽 식의 도함수가 모두 2x이므로 x=0에서 미분가능하다”는 판단이 어떤 조건을 빠뜨렸는지 확인해야 한다. 두 식을 각각 미분하면 실제로 도함수식은 모두 2x이지만, 미분계수는 함수값 주변의 변화와 입력 증가량을 함께 살펴 얻는 값이다. 먼저 “f(0)과 왼쪽 극한이 같은가?”에 답해야 한다. x≥0인 식에 0을 대입하면 f(0)=1이고, x가 0의 왼쪽에서 가까워질 때는 x²에 따라 함수값이 0으로 가까워진다. 따라서 왼쪽 극한은 0, 함숫값은 1로 서로 다르다.

차분몫으로 오답과 검산 결과를 나란히 놓기

교사는 바로 정답만 말하기보다 학생이 함숫값, 평균변화율, 순간변화율을 구분하는지 질문한다. 미분계수의 정의는 [f(a+h)−f(a)]/h의 h→0 극한이다. a=0으로 두고 왼쪽에서 접근하는 h<0을 대입하면 f(h)=h², f(0)=1이므로 차분몫은 (h²−1)/h=h−1/h가 된다. 이 식은 h가 0에 가까워질 때 유한한 값 0으로 가까워지지 않는다. 반면 오른쪽 h≥0에서는 f(h)=h²+1이므로 차분몫이 h가 되어 0으로 가까워진다. 양쪽 결과가 다르기 전에 이미 함수가 연속이 아니며, 왼쪽 차분몫도 유한한 극한을 갖지 않는다는 점을 각각 표시할 수 있다. 학생이 직접 f(0), 왼쪽 극한, 오른쪽 차분몫을 순서대로 적고 주어진 구간의 부등호를 대조하게 하면, 도함수 공식만으로 가능하다고 한 오답과 검산 결과의 차이가 드러난다. 미분가능하면 반드시 연속이어야 하므로 이 함수는 x=0에서 미분불가능하다.

조건을 가린 상태에서 경계값과 계수 다시 결정하기

같은 확인 방법을 다른 조각함수에 적용해 보자. f(x)=x²(x≤1), f(x)=ax+b(x>1)일 때 x=1에서 미분가능한 실수 a,b를 구하는 문제다. 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 뒤, 먼저 경계값 1에서 각 식의 함숫값을 적는다. 왼쪽 값은 1이고 오른쪽 식이 경계에 이어지려면 a+b=1이어야 한다. 이어서 왼쪽 미분계수는 x²의 x=1에서의 기울기인 2이므로 오른쪽 직선의 기울기 a도 2여야 한다. 따라서 a=2, b=−1이다. 마지막에는 f(1)=1과 오른쪽 식의 경계값 2·1−1=1이 같은지, 좌우 기울기가 각각 2인지 따로 확인한다. 기본 문제와 달리 이번에는 계수를 정해야 하지만, 연속 조건과 좌우 미분계수의 일치를 함께 세운다는 핵심은 같다. 정답을 보이지 않은 재적용에서는 학생이 경계값과 제외 조건부터 표시하고, 새 문제에서 달라진 점을 “x=0의 가능 여부를 판단하는 문제에서 x=1의 계수를 결정하는 문제로 바뀌었다”라고 한 문장으로 쓰게 한다. 이후 도함수 공식만 쓰려는 경우에는 두 점의 함수값 차와 입력 증가량이 무엇인지 다시 짚는다.