영종국제도시 고등수학과외

경계값부터 확인하는 로그함수의 정의역

로그함수에서 진수는 반드시 0보다 커야 합니다. 따라서 f(x)=log₂(2−x)에서는 2−x>0을 먼저 확인해야 합니다. 경계값 x=2를 넣으면 진수가 0이 되어 로그값을 정할 수 없고, x=3을 넣으면 진수가 −1이 되어 역시 함수에 들어갈 수 없습니다. 반대로 x=1을 넣으면 진수는 1이므로 함수값을 계산할 수 있습니다. 이처럼 2−x는 x가 2보다 작은 쪽에서 양수가 됩니다. 그런데 이렇게 답했다면 정의역을 x>2, x절편을 3이라고 쓸 수 있습니다. 숫자 하나를 대입해 보면 x=3에서는 log₂(−1)이 되어 애초에 성립하지 않는다는 점이 드러납니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 반례와 경계값을 출발점으로 삼아, 기호를 외워 적은 것인지 조건을 확인한 것인지 구분합니다.

부등식 방향과 x절편 조건을 따로 확인하기

오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 두 가지를 나누어 묻습니다. 로그 법칙은 알고 있지만 개별 진수의 양수 조건을 빠뜨렸는지, 아니면 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 사실을 놓쳤는지 확인합니다. “2−x>0을 −x에 대해 풀 때 방향은?”이라고 질문한 뒤, 학생이 직접 −x>−2에서 양변에 −1을 곱하며 x<2로 바뀌는 과정을 표시하게 합니다. 그다음 정의역 조건과 함수의 x절편 조건을 섞지 않도록 나눠 적습니다. 정의역은 2−x>0에서 결정하고, x절편은 f(x)=0에서 출발합니다. 같은 밑의 로그값이 0이 되려면 진수가 1이어야 하므로 2−x=1, x=1입니다. 교사는 진수 양수 조건, 출력이 0일 때의 진수 조건, 후보를 원래 식에 대입하는 확인 자료를 함께 제시하되 계산 결과와 성립 여부는 학생이 직접 구분해 쓰게 합니다.

수정 풀이를 가리고 반대 방향 식에 다시 적용하기

학생이 직접 정리하면 “진수 조건 2−x>0에서 x<2, x절편은 2−x=1에서 x=1”이 됩니다. 따라서 정의역은 (−∞,2), x절편은 1입니다. x=1을 원래 함수에 넣으면 log₂1=0이고 정의역 안에 있으므로 두 조건이 모두 맞습니다. 반대로 x=3은 진수가 음수이므로 탈락합니다. 이후에는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 f(x)=log₂(x−2)의 정의역과 수직 점근선을 다시 시작합니다. x−2>0에서 x>2를 얻고, 진수가 0이 되는 경계 x=2를 직선으로 표시하면 정의역은 (2,∞), 수직 점근선은 x=2입니다. 이 식은 앞 식의 글자 모양만 바꾼 것이 아니라 진수가 양수가 되는 방향이 실제로 달라진 경우입니다. 입력 3에서는 진수가 1이 되어 함수값 0이 되고, 원래 log₂x의 점 (1,0)이 오른쪽으로 2만큼 이동한 결과와도 맞습니다. 마지막에는 첫 단계를 보지 않고 반대 방향 진수의 정의역을 판단하는 식과 이유를 직접 쓰게 합니다. 이동 방향을 외우다 막히면 진수가 0인 경계와 그 양수인 쪽을 스스로 구해, 바뀐 조건에서도 같은 확인 절차를 이어 가는지 살핍니다.