중산동 초등수학과외

40°·60°·80° 삼각형에서 생긴 질문

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 40°, 60°, 80°가 적힌 삼각형 종이를 살펴보고, 80°인 꼭짓점 옆의 바깥쪽에 100°를 더 그렸습니다. 이때 “꼭짓점에 닿아 있으니 40°+60°+80°+100°로 계산해도 될까?”라고 생각할 수 있습니다. 이 문제의 핵심은 각도가 꼭짓점에 닿았는지가 아니라, 삼각형의 내부에 있는 각인지 구별하는 데 있습니다. 삼각형 안쪽으로 벌어진 세 각은 40°, 60°, 80°이고, 100°는 삼각형 바깥에 그린 바깥각입니다.

각을 재고 세 내각을 한곳에 모아 보기

활동 전에는 아이가 각 수치를 확인한 뒤 세 꼭짓점의 각을 모아 일직선과 비교할 수 있는지 살펴봅니다. 이를 이미 할 수 있다고 단정하지 않고, 각 수치가 적힌 삼각형 종이와 가위를 사용해 직접 확인합니다. 교사는 먼저 삼각형 내부에서 벌어진 부분을 가리키며 “삼각형 안쪽에 있는 각은 어느 것일까?”라고 묻습니다. 아이가 40°, 60°, 80°를 각각 가리키면, 세 내각을 오려 한 점에 모아 일직선을 채우도록 놓아 봅니다. 세 각이 일직선을 이루면 한 바퀴나 도형의 겉모양이 아니라, 세 내각의 크기를 모은 결과가 180°라는 점을 확인할 수 있습니다.

아이의 가능한 답이 280°라면 계산 자체가 틀렸다기보다, 바깥각 100°를 삼각형 내부의 각과 함께 센 것인지 다시 살펴볼 필요가 있습니다. 교사는 80°가 적힌 꼭짓점에서 삼각형 안쪽으로 벌어진 부분과 바깥쪽으로 벌어진 부분을 차례로 짚고, “내각 합에 넣기로 한 각은 어느 쪽일까?”라고 묻습니다. 말로 설명하기 어렵다면 아이가 가위로 오린 각을 안쪽 세 조각과 바깥각으로 나누어 놓게 합니다. 이때 100°를 내각 세 조각에서 따로 옮겨 놓을 수 있는지 행동으로 확인할 수 있습니다.

식을 쓰고 바깥각을 분리해 다시 풀기

교사의 시범 뒤에는 문제와 삼각형 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 해 봅니다. 아이는 삼각형 내부의 40°, 60°, 80°를 하나씩 가리키며 40°+60°+80°=180°이라고 씁니다. 이어 100°가 적힌 부분은 삼각형 바깥에 있으므로 내각 합에 넣지 않는다고 표시합니다. 세 각을 한 점에 모았을 때 일직선이 채워지는지 확인하면 식과 조작 자료가 같은 관계를 나타내는지도 살필 수 있습니다. 그림이 실제 각도에 맞는 축척으로 그려졌는지는 판단 기준이 아닙니다. 각의 위치와 문제에 적힌 수치를 기준으로 내각을 구별해야 합니다.

이 과정에서 아이가 긴 문장으로 이유를 말하지 못해도 괜찮습니다. 삼각형 내부의 세 각을 가리키고, 바깥각 100°를 옆으로 옮겨 둔 뒤, 세 내각의 합을 계산하면 이해의 근거가 드러납니다. 교사는 정답을 설명한 뒤에도 이어지는 분류와 식 쓰기는 아이가 직접 하도록 하며, 100°를 다시 더하지 않는지 확인합니다.

축척 없는 그림과 바뀐 조건에 적용하기

새 문제에서는 두 내각이 40°와 60°라고 적혀 있지만 그림은 정확한 축척 없이 그려진 삼각형을 제시합니다. 아이는 그림의 벌어진 모양만 보고 나머지 각을 바꾸지 않고, 삼각형의 세 내각 합이 180°라는 관계를 이용해 180°-40°-60°=80°이라고 구합니다. 기본 문제와 달리 새 자료에서는 80°를 직접 재는 대신, 적힌 수치와 내각 합을 사용해 나머지 각을 찾습니다.

추가로 첫 번째 내각을 50°로 바꾸고 두 번째 내각은 60°로 유지하면 나머지 각은 180°-50°-60°=70°입니다. 아이가 이전 답 80°를 그대로 쓰는지, 바뀐 조건을 다시 식에 반영하는지 확인합니다. 마지막에는 기본 문제와 새 문제에서 달라진 수치, 그대로인 내각 합, 그리고 바깥각을 섞지 않는 기준을 자료와 식으로 보여 주는지 살펴봅니다.