가야동 고등수학과외

로그를 합친 뒤 달라지는 허용 범위

로그방정식을 풀 때 계산 결과만 맞추려 하면, 로그를 합친 뒤 생긴 후보를 원래 식에 넣을 수 있는지 놓치기 쉽다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 다음과 같은 문제를 먼저 제시한다. 실수 x에 대해 log₂(x−1)+log₂(x+1)=3을 풀어라. 두 로그를 하나로 합치면 log₂((x−1)(x+1))=3, 즉 log₂(x²−1)=3이므로 x²−1=8, x²=9, x=±3이라는 흐름이 나온다. 그러나 합치기 전부터 각 로그의 진수가 양수여야 한다. x−1>0, x+1>0을 동시에 만족해야 하므로 원래 정의역은 x>1이다. 따라서 이 문제에서 허용되는 해는 x=3뿐이다.

반면 문제 자체가 log₂(x²−1)=3이라면 확인해야 할 현재 진수 조건은 x²−1>0 하나이다. 같은 계산으로 x=±3을 얻지만, 두 값 모두 x²−1=8을 만들므로 둘 다 허용된다. 두 문제는 겉으로 비슷하게 log₂(x²−1)을 포함하지만, 하나는 따로 있던 두 로그를 합친 결과이고 다른 하나는 처음부터 하나의 로그로 주어진 식이다. 표현만 바뀐 것인지, 실제 조건이 바뀐 것인지 구별해야 결론이 달라지는 이유를 설명할 수 있다.

오답을 원인별로 다시 확인하는 질문

이렇게 답했다면 학생은 “x²−1=8에서 x=±3”이라고 계산했을 수 있다. 이 한 번의 오답만으로 정의역을 몰랐다고 단정하지 않고, 먼저 “원래 두 로그가 동시에 정의되는 x는?”이라고 묻는다. 학생이 x−1>0과 x+1>0을 각각 적고 공통 범위를 표시하는지 확인한다. 이미 x>1을 구해 두었는데도 −3을 남겼다면, 후보에 원래 조건을 적용하고 대조하는 단계가 빠진 것이다. 반대로 합친 식의 정의역을 x²−1>0으로만 적었다면, 로그의 합을 바꾸기 전 조건과 바꾼 뒤 식의 조건이 항상 같은지 혼동한 경우일 수 있다.

교사는 “log₂(x−1)+log₂(x+1)=log₂(x²−1)”이라는 계산식만 보여 주지 않고, 변환 전에는 두 진수가 각각 양수여야 한다는 점을 나란히 적는다. 곱을 진수로 한 로그 하나의 조건은 x²−1>0, 즉 x<−1 또는 x>1이다. 하지만 원래 두 로그가 동시에 정의되려면 x>1만 가능하다. 학생은 각 조건을 직접 표시한 뒤, 어느 범위가 원래 식에 필요한지 문장으로 정리한다. 마지막으로 x=3을 대입하면 log₂2+log₂4=1+2=3이므로 성립하고, −3은 두 진수가 각각 −4, −2가 되어 원식에 넣을 수 없음을 확인한다.

풀이를 가린 상태에서 조건을 다시 적용하기

다음 점검에서는 대표 문제의 식과 범위, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 먼저 “원래 두 로그가 동시에 정의되는 x는?”에 답할 근거로 각 진수의 양수 조건을 선택하고, x−1>0, x+1>0을 다시 쓴다. 그다음 log₂(x²−1)=3으로 바꾸어 x=±3을 얻은 뒤, 앞에서 정한 x>1과 대조해 x=3만 남긴다. 합친 로그만 보고 판단하려는 순간에는 합치기 전 두 진수의 부호를 다시 표시한다.

이후에는 실제 조건이 다른 문제를 재적용한다. “실수 x에 대해 log₂(x²−1)=3을 풀어라”를 풀이와 정답 없이 시작하고, 먼저 x²−1>0을 적는다. x²−1=8에서 x=−3, 3을 얻은 뒤 두 값 모두 진수 8을 만들므로 정답을 x=−3, 3으로 확정한다. 두 해에서 log₂8=3도 각각 확인한다. 이렇게 조건과 유도 표시를 남긴 채 다시 풀면, 로그의 합을 하나의 로그로 바꾼 문제와 처음부터 곱이 진수인 문제의 정의역 차이를 다음 풀이에서도 점검할 수 있다.