가야동 중등수학과외

“앞앞, 앞뒤, 뒤뒤 중 하나이므로 1/3”이라는 답안

중2 경우의 수와 확률 수업에서 학생은 공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던졌을 때 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하는 문제를 풀었다. 학생이 적은 답은 “앞앞, 앞뒤, 뒤뒤 중 하나이므로 1/3”이었다. 세 가지 결과를 적었다는 점은 결과를 나누어 세려는 시도로 볼 수 있지만, 문제의 조건과 맞지 않는 지점이 있었다. 가야동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 결과와 두 번의 시행 순서를 나란히 놓고, 처음 달라진 판단을 확인했다.

교사는 풀이를 바로 고쳐 주지 않고 짧게 물었다. “앞뒤와 뒤앞은 같은 결과일까, 다른 시행 순서일까?” 학생은 말로는 “순서가 다르다”고 답했지만, 계산 줄에는 뒤앞을 적지 않았다. 따라서 이 한 번의 오답만으로 학생이 순서 개념을 모른다고 단정하지 않고, 질문에 대한 답과 실제로 적은 목록을 함께 확인했다. 말로 구분한 내용을 풀이에도 반영하는지 보는 것이 핵심이었다.

첫째·둘째 자리가 있는 네 순서쌍

교사는 필요한 만큼만 설명했다. 동전을 두 번 던진 결과는 단순히 앞면과 뒷면의 종류만 세는 것이 아니라, 첫째 시행과 둘째 시행의 자리가 있는 순서쌍이라고 말했다. 그런 다음 “네 가지를 빠짐없이 직접 적어 보자”라고 요청했다. 학생은 앞서 쓴 세 항목을 지우고, 첫째 자리와 둘째 자리를 나누어 결과를 다시 작성했다.

학생이 완성한 목록은 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤였다. 공정한 동전을 독립적으로 두 번 던지므로 이 네 순서쌍은 같은 가능성을 가진다. 앞면이 정확히 한 번인 경우는 앞뒤와 뒤앞 두 가지다. 따라서 학생은 2/4=1/2라고 고쳐 썼다. 처음 풀이에서는 앞뒤와 뒤앞 중 하나만 남겼지만, 수정 풀이에서는 시행 순서를 보존하고 성공하는 경우를 모두 포함했다.

이번에는 같은 계산을 다시 적는 방식이 아닌 확률의 곱으로 검산했다. 앞뒤가 나올 확률은 첫 번째 앞면과 두 번째 뒷면이 이어지므로 (1/2)(1/2)=1/4이다. 뒤앞도 같은 방식으로 (1/2)(1/2)=1/4이고, 두 경우는 서로 겹치지 않으므로 합은 1/4+1/4=1/2이다. 학생은 “순서쌍으로 세어 얻은 2/4와 각 순서의 확률을 더해 얻은 값이 같다”고 말하며 두 확인 방법을 구분했다.

‘정확히 한 번’에서 ‘적어도 한 번’으로 바뀐 조건

조건을 바꾼 적용 문제는 공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 구하는 것이다. 여기서는 전체 순서쌍 네 가지가 그대로 유지되지만, 성공 조건이 달라진다. 앞면이 정확히 한 번일 때는 앞뒤와 뒤앞만 포함했지만, 앞면이 적어도 한 번이면 앞앞도 새로 포함된다. 따라서 성공하는 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞 세 가지이고, 뒤뒤만 제외된다. 확률은 3/4이다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답은 가린 뒤, 학생이 도움 없이 네 순서쌍을 빠짐없이 나열하게 한다. 필요할 때는 “두 번의 결과는 첫째·둘째 자리가 있는 순서쌍이다”라는 설명까지만 다시 제시하고 다음 계산은 학생이 직접 쓰게 한다. 특히 적어도 한 번 문제에서 앞앞을 포함한 이유를 말하고, 정확히 한 번과 조건을 비교한 뒤 3/4를 적는지가 확인 근거가 된다.