계산지구 수학과외

대표 문제에서 {2}가 나온 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 전체집합이 U={1,2,3,4}이고 A={1,2}, B={2,3}일 때, (A∪B)의 여집합을 구하는 문제입니다. 학생의 답은 {2}였습니다. 먼저 A와 B에 공통으로 들어 있는 원소가 2라는 점에 주목해 공통 원소만 남기는 교집합처럼 판단했을 가능성이 있습니다. 그러나 문제에서 요구한 것은 A∪B의 여집합입니다. 기호 ∪는 두 집합에 적어도 한 번 들어 있는 원소를 모두 모으는 합집합을 뜻하므로, 공통 원소만 고르는 연산과는 다릅니다.

두 집합을 합치면 A∪B={1,2,3}입니다. 2는 두 집합에 공통으로 들어 있지만, 합집합에서는 한 번만 적으면 될 뿐 제외되는 원소가 아닙니다. 그다음 여집합은 임의의 수를 빼는 것이 아니라, 지정된 전체집합 U를 기준으로 정합니다. 따라서 U에서 {1,2,3}을 제외하고 남는 원소는 {4}이며, 문제의 답은 {4}입니다.

오답의 원인을 구분하는 확인

교사는 처음부터 학생이 특정 개념을 완전히 모른다고 단정하지 않고, “A∪B는 어떤 원소를 모으는 연산인가요?”, “여집합을 구할 때 기준이 되는 집합은 무엇인가요?”라고 묻습니다. 학생이 “두 집합에 모두 들어 있는 원소를 찾는 것”이라고 설명한다면 합집합과 교집합의 구분을 먼저 확인할 수 있습니다. 반대로 합집합은 설명하지만 마지막에 {2}라고 썼다면, 개념을 말로는 알고도 문제의 연산 기호를 읽거나 식으로 옮기는 과정에서 판단이 달라졌는지 살펴봅니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 괜찮습니다. 교사는 A에서 원소를 하나씩 확인하고 B에 있는 원소도 빠짐없이 모아 보게 하면서 어느 단계에서 생각이 바뀌었는지 함께 찾습니다.

이 확인은 오답 하나만 보고 계산 실수나 개념 오해를 미리 정하는 과정이 아닙니다. 먼저 합집합의 뜻을 말할 수 있는지, 그 뜻을 실제 집합 A와 B에 적용할 수 있는지, 마지막으로 전체집합에서 제외할 수 있는지를 나누어 보는 과정입니다.

교사의 설명 뒤 학생이 다시 구성하는 풀이

교사는 “합집합은 두 집합 중 하나라도 속한 원소를 모으고, 여집합은 전체집합에서 그 결과를 제외한다”고 설명합니다. 이 문제에서는 A에서 1과 2를 적고, B에서 아직 나오지 않은 3을 더합니다. 2는 이미 적었으므로 중복해서 쓰지 않지만, 공통 원소라는 이유로 남기는 것도 아니고 빼는 것도 아닙니다. 그래서 A∪B={1,2,3}이 됩니다. 이어서 전체집합 U={1,2,3,4}에서 1, 2, 3을 지우면 {4}만 남습니다.

필요하다면 교사가 “A∪B까지는 함께 적어 볼게요. 이제 U에 있는 원소 중 그 합집합에 들어 있지 않은 것은 무엇인지 직접 골라 보세요”라고 한 단계를 풀어 보인 뒤 다음 판단을 학생에게 맡깁니다. 학생은 처음의 {2}라는 답에서, 공통 원소만 찾던 판단을 바꾸고 두 집합에 들어 있는 원소를 모두 모은 뒤 전체집합과 비교합니다. 문제의 조건에 맞춰 A∪B={1,2,3}, (A∪B)의 여집합={4}라고 답과 근거를 함께 제시하는 것이 핵심입니다.

검산과 새 조건에서의 적용

같은 결과를 다른 집합 연산으로 확인할 수도 있습니다. A의 여집합은 U를 기준으로 {3,4}, B의 여집합은 {1,4}입니다. 이 둘의 교집합은 두 여집합에 공통으로 들어 있는 {4}이므로, (A∪B)의 여집합과 일치합니다. 이 확인은 원래 조건에서 전체집합 U를 기준으로 삼았는지 점검하게 해 줍니다. 풀이 순서를 외워 쓴 경우에는 문제와 조건만 보이게 하고 앞서 적은 풀이와 정답은 가린 뒤, 학생이 다시 합집합을 만들고 여집합을 구하게 합니다. 막히는 지점이 개념인지 원소를 비교하는 계산인지에 따라 도움의 정도를 조절합니다.

새 적용 문제는 전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2}, B={2,3,4}일 때 (A∪B)의 여집합을 구하는 것입니다. 기본 문제와 달라진 것은 전체집합의 원소가 늘고 B에 4가 추가된 점입니다. 합집합을 먼저 만들면 A∪B={1,2,3,4}이고, U에서 이 원소들을 제외한 {5,6}이 답입니다. 어느 집합에도 속하지 않는 원소를 남긴다는 이전 방법을 이 조건에도 적용할 수 있는지 확인할 수 있습니다.

필요할 때는 전체집합의 역할을 더 분명히 보기 위해 A={10}, U={10,11}, V={10,11,12}를 비교할 수 있습니다. U를 기준으로 한 A의 여집합은 {11}, V를 기준으로 한 여집합은 {11,12}입니다. 따라서 집합 A만 같다고 여집합이 항상 같은 것은 아니며, 여집합을 말할 때는 기준이 되는 전체집합도 함께 지정해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제를 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 해결하고, 합집합을 먼저 구한 이유와 전체집합에서 제외한 근거를 말이나 식으로 설명하는지를 확인합니다.