계산지구 중등수학과외

학생은 먼저 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 C가 각 값을 두 배한 4, 8, 12일 때 두 자료의 평균과 분산을 비교하는 문제를 받았다. 계산지구중등수학과외 수업에서는 숫자를 바로 계산하기보다, 값에 같은 수를 더한 경우와 일정한 수를 곱한 경우에 평균과 분산이 어떻게 달라지는지 구분하도록 문제의 조건에 표시했다. 학생은 C의 평균을 8로 구하고 “평균은 두 배가 되었으니 분산도 두 배일 것 같다”고 적었다.

자료 C에서 먼저 남겨 둔 판단

교사는 학생의 계산 결과만 보고 원인을 정하지 않았다. 학생이 A의 평균을 4로 구한 부분은 맞았고, C의 평균을 8로 구한 과정도 맞았다. 처음 달라진 판단은 평균의 배율과 분산의 배율을 같게 본 대목이었다. 교사는 “값이 두 배가 되면 편차는 몇 배가 될까?”라고 물었지만, 학생은 분산을 평균과 같은 방식으로 두 배 처리하려 했다.

학생이 계산을 몰라서인지 조건을 옮겨 해석하는 과정에서 혼동했는지 확인하기 위해, 교사는 새로운 계산을 바로 대신하지 않았다. 대신 자료 A의 편차를 먼저 적게 했다. 학생은 평균 4를 기준으로 2−4=−2, 4−4=0, 6−4=2를 썼다. 이어 C의 편차를 비교하게 하자 4−8=−4, 8−8=0, 12−8=4라고 적었다. 편차가 두 배가 된다는 점은 확인했지만, 제곱한 뒤의 변화까지 연결하지 못한 상태였다.

같은 수를 더한 대표 문제로 판단 확인

교사는 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 B가 각 값에 5를 더한 7, 9, 11인 문제를 제시했다. 학생은 처음에 “두 자료의 평균은 모두 4”라고 작성했다. 여기서 교사는 “B의 총합 27을 자료 수로 나누면 얼마인가?”라고 짧게 물었다. 학생이 27÷3을 직접 계산하게 하자 B의 평균은 9라는 사실이 드러났다.

교사는 모든 값이 5 증가하면 평균도 5 증가한다는 관계만 설명하고, 분산 계산은 학생에게 맡겼다. 학생은 평균 변화와 분산 변화를 따로 계산하라는 안내에 따라 A의 평균을 4, B의 평균을 9로 고쳐 썼다. 이어 A의 편차는 −2, 0, 2이고 B의 편차는 7−9=−2, 9−9=0, 11−9=2라고 정리했다.

수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생은 각 편차의 제곱을 더해 A와 B의 분산을 계산했다. 두 자료 모두 편차 제곱의 합은 4+0+4=8이고 자료 수는 3이므로, 분산은 각각 8÷3=8/3이다. 따라서 대표 문제의 정답은 A의 평균 4, B의 평균 9이며 두 자료의 분산은 모두 8/3이다.

검산은 같은 제곱 계산을 반복하지 않고 조건과 편차의 관계를 대조하는 방식으로 진행했다. B의 각 값에서 평균 9를 빼면 −2, 0, 2가 되고, 이는 A에서 평균 4를 뺀 편차와 같다. 모든 값에 같은 수를 더하면 자료가 일정한 폭만큼 이동할 뿐 값들 사이의 퍼짐은 바뀌지 않는다는 점이 확인된다. 처음의 “평균은 모두 4”라는 문장은 B의 총합을 자료 수로 나누지 않은 판단에서 나온 것으로 구분할 수 있다.

배율 변화로 돌아온 적용 문제

이제 처음 남겨 둔 자료 A와 C를 다시 계산한다. A의 평균은 4, C의 평균은 (4+8+12)÷3=8이므로 평균은 두 배가 된다. A의 편차 −2, 0, 2가 C에서는 −4, 0, 4가 된다. 편차를 제곱하면 16, 0, 16이고 합은 32이므로 C의 분산은 32÷3=32/3이다. A의 분산 8/3과 비교하면 C의 분산은 네 배다. 평균은 두 배지만, 편차를 제곱하는 분산은 네 배가 된다는 차이가 핵심이다.

다음 문제에서는 학생이 자료를 받자마자 평균 변화와 분산 변화를 따로 계산하고, 같은 수를 더한 것인지 일정한 수를 곱한 것인지 조건에 표시해야 한다. 대표 문제의 자료와 풀이를 보이지 않은 상태에서 직접 식을 완성한 뒤, 마지막에는 B의 각 값에서 평균 9를 뺀 편차가 A의 편차와 같은지 대조하게 한다. 교사는 학생이 정답만 적는지보다 평균, 편차, 분산의 변화 근거를 순서대로 남기는지를 확인한다.