작전지구 수학과외

아래 내용은 수업 방법을 설명하기 위한 학습 예시입니다.

실수 범위에서 √(-4)가 정의되는지 묻자 학생은 “-2다”라고 답했다. 4의 제곱근에 2와 -2가 있다는 기억을 음수인 -4에도 그대로 적용한 것이다. 작전지구 수학과외 수업에서는 답을 바로 수정하기보다 -2를 제곱했을 때 실제로 -4가 되는지부터 확인했다.

(-2)²을 계산하면 4이므로 -2는 제곱해서 -4가 되는 실수가 아니다. 양수 2를 제곱해도 결과는 4다. 실수의 제곱은 음수가 될 수 없기 때문에 제곱해서 -4가 되는 실수는 존재하지 않는다. 따라서 √(-4)는 실수 범위에서 정의되지 않는다.

여기서 학생이 함께 구분한 것은 ‘제곱근’과 근호 √가 나타내는 값이다. 양수 a의 제곱근은 제곱해서 a가 되는 양수와 음수 두 개이지만, √a는 a≥0일 때 그중 음이 아닌 값을 나타낸다. 처음의 답에서 바뀐 것은 단순히 부호 하나가 아니라 근호 안의 수가 실수 범위에서 허용되는지 먼저 확인하는 판단 순서였다.

새 문제에서는 실수 범위에서 √(-16)을 계산할 수 있는지 확인했다. 학생은 4나 -4를 바로 답으로 적지 않고, 어떤 실수를 제곱해도 음수가 되지 않는다는 기준을 먼저 적용했다. 따라서 √(-16) 역시 실숫값으로 정의되지 않는다고 판단했다.

다음에는 √(x²)의 값을 확인한다. x=-7이면 √(x²)=√49=7이지만 x 자체는 -7이다. 따라서 √(x²)를 항상 x라고 쓸 수 없고 일반적으로 √(x²)=|x|이다. 이후에는 근호를 보고 기계적으로 부호를 정하기보다 근호 안의 값이 허용되는지와 √가 어떤 값을 나타내는지를 구분하는지가 다음 점검 기준이 된다.