임학동 수학과외

4와 8에서 맞았다는 판단이 왜 충분하지 않을까

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “정수 n이 2의 배수이면 4의 배수라는 명제는 4와 8에서 맞으므로 참이다.” 4와 8은 실제로 2의 배수이고 4의 배수이므로, 두 수에 대한 계산 자체는 맞습니다. 하지만 문제에서 묻는 것은 4와 8에서만 성립하는지가 아니라, 2의 배수인 모든 정수 n이 4의 배수인지입니다. 몇 가지 예가 맞는다는 사실과 모든 경우에 명제가 성립한다는 결론은 서로 다릅니다.

교사는 학생에게 “4와 8 말고도 2의 배수인 정수를 하나 골라 보자. 그 수가 반드시 4의 배수인지 확인할 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 왜 4와 8만 확인했는지 바로 설명하지 못하더라도, 먼저 명제의 앞부분인 ‘n이 2의 배수’라는 조건을 다시 읽게 하고, 그 조건을 만족하는 다른 수를 찾아 보게 합니다. 이 과정에서 처음 답이 계산 실수인지, 문제의 ‘모든 경우’라는 요구를 좁게 읽은 것인지 구분할 수 있습니다.

반례 후보가 조건을 만족하는지 먼저 확인하기

이 명제를 거짓이라고 보이려면 아무 수나 고르는 것이 아니라, 앞의 조건을 만족하면서 뒤의 결론을 만족하지 않는 수를 찾아야 합니다. n=6을 대입하면 6은 정수이고 2의 배수입니다. 실제로 6÷2=3이므로 6=2×3으로 쓸 수 있습니다. 따라서 명제의 가정은 만족합니다.

이제 결론인 ‘4의 배수인지’를 확인합니다. 6은 4×1=4와 4×2=8 사이에 있고, 6÷4는 정수가 아니므로 4의 배수가 아닙니다. 그러므로 6은 가정을 만족하지만 결론을 만족하지 않는 반례입니다. 이런 반례 하나가 존재하면 “모든 정수 n에 대하여 2의 배수이면 4의 배수이다”라는 명제는 거짓입니다. 4와 8에서 결과가 맞았다는 사실은 반례 n=6의 존재를 없애지 못합니다.

교사는 반례를 찾을 때 먼저 “이 수가 정말 2의 배수인가?”를 확인하게 한 뒤 “그렇다면 4의 배수인가?”를 차례로 묻습니다. 학생이 6을 골랐지만 두 나눗셈의 의미를 혼동한다면 6÷2와 6÷4를 나란히 계산해 보인 뒤, 어느 계산이 가정 확인이고 어느 계산이 결론 확인인지 다시 말하게 합니다.

설명 뒤 학생이 대표 문제를 다시 풀어 보기

이제 대표 문제의 조건과 수치는 보이게 두고, 처음 적은 답과 수정 풀이를 가린 상태에서 학생이 다시 시작한다고 가정합니다. 학생은 먼저 “2의 배수인 모든 정수를 대상으로 판단해야 하므로, 4와 8만 확인해서는 부족하다”고 적습니다. 이어 반례 후보로 n=6을 선택하고, 6=2×3이므로 2의 배수라는 점을 확인합니다.

그다음 학생은 6=4×정수로 나타낼 수 있는지 살핍니다. 6÷4는 정수가 아니므로 6은 4의 배수가 아니고, 가정은 참이지만 결론은 거짓인 수가 발견됩니다. 따라서 명제 전체는 거짓이라고 결론 내립니다. 처음의 “4, 8에서 맞아 참이다”라는 답에서 바뀐 부분은 4와 8의 계산이 아니라, 일부 예의 성공을 모든 경우의 증명으로 받아들였던 판단입니다. 교사는 학생이 이 연결을 말하기 어려우면 ‘가정 확인’과 ‘결론 확인’ 중 한 단계만 함께 정리하고, 나머지 계산과 결론은 다시 직접 작성하게 합니다.

검산할 때는 같은 풀이를 그대로 반복하지 않고, 반례가 두 조건을 실제로 갈라 놓는지 확인합니다. 6÷2=3은 정수이지만 6÷4는 정수가 아닙니다. 따라서 6은 2의 배수라는 가정은 만족하고 4의 배수라는 결론은 만족하지 않는다는 점이 계산으로도 일치합니다. 이후에는 학생이 풀이와 정답을 가린 채 문제를 처음부터 다시 해결하는지, 왜 6을 반례로 선택했는지 설명하는지를 확인합니다. 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 다음 도움의 양을 조절합니다.

조건이 달라진 문제와 역명제까지 비교하기

새 적용 문제로 “양의 정수 n이 짝수이면 4의 배수다”의 반례를 3과 6 중에서 고르게 할 수 있습니다. 이번에는 ‘양의 정수’이면서 ‘짝수’라는 가정을 먼저 만족해야 합니다. 3은 양의 정수이지만 짝수가 아니므로 반례 후보가 될 수 없습니다. 6은 양의 정수이고 짝수이며, 동시에 4의 배수는 아니므로 적절한 반례입니다. 원래 명제와 비슷해 보여도 반례가 앞의 조건을 만족하는지 먼저 확인해야 한다는 점이 핵심입니다.

추가 비교가 필요할 때는 원명제와 역명제를 구분합니다. “정수 x가 8의 배수이면 4의 배수다”는 8=4×2이므로 참입니다. 그러나 역은 “x가 4의 배수이면 8의 배수다”이고, x=4를 대입하면 4는 4의 배수지만 8의 배수는 아니므로 거짓입니다. 원명제가 참이라고 해서 역명제까지 항상 참이 되는 것은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 숫자를 표시하는 데 그치지 않고, 문제의 조건을 확인하고 반례의 자격을 설명한 뒤 새로운 조건에도 같은 판단을 적용하는지를 기준으로 확인합니다.