궁동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 삼각형 ABC의 내심을 I라 하고 ∠A=50°일 때 ∠BIC를 구하는 문제입니다. 처음에는 “180-50=130°다.”라고 답했습니다. 180°에서 ∠A를 뺀 계산 자체는 ∠B+∠C=130°를 구할 때에는 맞지만, 문제에서 묻는 것은 삼각형 ABC의 남은 두 각의 합이 아니라 내심 I를 꼭짓점으로 하는 삼각형 BIC의 각 ∠BIC입니다. 따라서 130°를 곧바로 목표 각으로 정한 것이 잘못된 판단입니다.

교사는 오답의 원인을 바로 하나로 단정하지 않고 “130°는 삼각형에서 어느 각이나 각의 합을 나타내는가?”, “내심 I가 각 B와 각 C를 어떻게 나누는가?”를 차례로 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하면, 먼저 내심은 각의 이등분선이 만나는 점이라는 부분을 함께 확인합니다. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 성질과 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이가 같다는 성질을 섞어 기억하고 있는지도 구분해 봅니다. 이 문제에서 직접 필요한 것은 거리의 같음이 아니라 각의 이등분입니다.

조건을 사용한 수정 풀이

교사는 ∠A=50°라는 조건만으로 ∠B와 ∠C를 각각 정할 수는 없다는 점을 먼저 짚습니다. 그러나 내심 I에서는 BI가 ∠B의 이등분선이고 CI가 ∠C의 이등분선이므로, 삼각형 BIC에서 ∠IBC=∠B/2, ∠ICB=∠C/2입니다. 두 각의 합은 (∠B+∠C)/2이고, 삼각형 ABC의 내각의 합에 따라 ∠B+∠C=180°-50°=130°입니다. 그러므로 삼각형 BIC의 다른 두 각의 합은 130°/2=65°입니다.

이제 삼각형 BIC의 내각의 합을 적용하면 ∠BIC=180°-65°=115°입니다. 같은 내용을 한 번에 정리하면 ∠BIC=180°-(∠B+∠C)/2=180°-(180°-∠A)/2=90°+∠A/2이므로, ∠A=50°를 대입해 90°+25°=115°를 얻습니다. 여기서 90°+∠A/2라는 식은 삼각형의 내심에서 두 각의 이등분선이 만드는 각에 적용한 결과이며, 모든 각이나 모든 점에 조건 없이 적용하는 공식으로 이해해서는 안 됩니다.

교사가 중간의 65°를 먼저 계산해 보인 뒤, 학생은 처음의 “180-50=130°”에서 멈추지 않고 그 130°가 ∠B와 ∠C의 합이라는 점을 식에 연결합니다. 이어서 두 각을 절반씩 취해 65°를 구하고, 마지막으로 180°에서 빼서 ∠BIC=115°라고 답합니다. 학생이 ∠B와 ∠C의 값을 각각 알 수 없어 막히더라도, 두 각의 합만으로 충분하다는 부분을 함께 확인한 뒤 다음 계산은 직접 시도하게 합니다.

검산과 다시 확인할 부분

검산은 같은 식을 그대로 반복하는 대신 삼각형 BIC의 구조에 대입해 확인합니다. ∠BIC를 제외한 두 각은 각각 ∠B/2와 ∠C/2이므로 그 합은 (∠B+∠C)/2입니다. ∠B+∠C=130°이므로 두 각의 합은 65°이고, 115°+65°=180°이 되어 삼각형 BIC의 내각의 합을 만족합니다. 이 확인을 통해 130°는 목표 각이 아니라 두 원래 각의 합이며, 115°가 ∠BIC라는 구분이 분명해집니다.

처음 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 문제의 수치와 조건만 보이게 하고 앞서 적은 풀이와 정답을 가린 뒤 다시 시작합니다. 학생이 혼자 115°까지 도달하는지, 130°가 무엇을 뜻하는지 설명할 수 있는지, 또는 두 각의 절반을 적용하는 단계에서 도움이 필요한지를 살펴봅니다. 계산이 맞고 조건에 근거한 다른 풀이가 있다면 그 방법도 인정합니다. 개선 여부는 표시가 남았는지가 아니라, 풀이를 가린 상태에서 필요한 식을 다시 세우고 답의 근거를 말하는지로 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음 확인하기

이번에는 기본 문제와 구분해 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠A=64°일 때 ∠BIC를 구해 봅니다. 바뀐 것은 ∠A의 수치뿐이며, 내심에서 ∠B와 ∠C가 각각 절반으로 나뉜다는 조건은 그대로이므로 같은 방법을 적용할 수 있습니다. ∠B+∠C=180°-64°=116°, 삼각형 BIC에서 두 나머지 각의 합은 116°/2=58°입니다. 따라서 ∠BIC=180°-58°=122°이고, 식으로는 90°+64°/2=122°입니다.

추가로 부호를 혼동하는지 확인하고 싶다면 ∠A=80°일 때 ∠BIC를 90°-∠A/2로 계산해도 되는지 비교할 수 있습니다. 두 나머지 반각의 합은 (180°-80°)/2=50°이므로 목표 각은 50°가 아니라 180°-50°=130°입니다. 새 적용 문제를 먼저 스스로 해결하는지 확인한 뒤, 필요할 때만 이 비교를 사용해 ‘뺄셈으로 얻은 값이 목표 각인지’와 ‘두 반각의 합인지’를 구분하도록 다음 수업을 이어 갑니다.