하기동 수학과외

대표 문제에서 양 끝값을 포함한 오답

다음 문제에서 「-1보다 크고 2보다 작은 정수를 모두 쓰라」고 했을 때, 학생이 「-1, 0, 1, 2다」라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 문제의 핵심은 수의 대소 비교와 함께 ‘보다 크고’, ‘보다 작은’이라는 조건이 경계값을 포함하는지 판단하는 것입니다. -1보다 크다는 말은 -1보다 오른쪽에 있는 수를 뜻하고, 2보다 작다는 말은 2보다 왼쪽에 있는 수를 뜻합니다. 따라서 -1과 2 자체는 조건을 만족하는 수가 아닙니다.

처음 답에는 조건의 양 끝에 있는 수를 안쪽의 정수처럼 포함한 판단이 나타납니다. 다만 이 한 가지 오답만으로 학생이 부등호의 뜻을 몰랐다고 단정하지는 않습니다. 문제의 문장을 읽는 과정에서 경계를 포함해야 한다고 생각했는지, 수직선에서 위치를 잘못 판단했는지, 또는 정수를 빠르게 나열하다가 끝값을 확인하지 않았는지를 풀이 과정에서 나누어 살펴봅니다.

조건을 수직선의 위치로 바꾸어 확인하기

교사는 먼저 “-1보다 큰 수는 -1과 비교했을 때 어느 쪽에 있어야 할까?”, “2보다 작은 수는 2와 비교했을 때 어느 쪽에 있어야 할까?”라고 묻습니다. 학생이 말로 바로 설명하기 어렵다면 -1과 2를 먼저 표시하고, 두 수 사이의 구간만 남겨 보게 합니다. 여기서 ‘보다 크다’와 ‘보다 작다’는 양 끝을 포함하지 않는 표현이므로, -1과 2에는 점을 찍어 포함시키지 않고 두 수 사이에 있는 정수만 살펴봅니다.

음수의 위치를 혼동하는 경우에는 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 수가 커진다는 점을 함께 확인합니다. -1의 오른쪽에는 0이 있고, 2의 왼쪽에는 1이 있습니다. 이 설명은 단순히 숫자를 외우게 하는 것이 아니라, 각 조건이 수직선에서 어느 위치를 뜻하는지 연결하는 과정입니다. 방향과 수의 크기를 분리해 보면서 -1보다 큰 수와 2보다 작은 수를 동시에 만족해야 한다는 점을 짚습니다.

학생의 수정 풀이와 검산

설명을 들은 뒤 학생은 대표 문제를 다시 풀며 먼저 양 끝값을 포함하는지 확인합니다. ‘-1보다 크다’와 ‘2보다 작다’에는 양 끝값이 들어가지 않으므로 -1과 2를 제외하고, 그 사이에 있는 정수를 차례로 적습니다. 그 결과 답은 0, 1입니다. 처음의 「-1, 0, 1, 2」에서 바뀐 판단은 숫자를 나열하는 방식이 아니라, 문제의 두 조건을 끝값에 적용한 부분입니다.

검산할 때는 같은 답을 다시 외우게 하지 않고 각 수를 원래 조건에 대입해 봅니다. -1<0<2이고 -1<1<2이므로 0과 1은 두 조건을 모두 만족합니다. 반면 -1은 ‘-1보다 크다’를 만족하지 않고, 2는 ‘2보다 작다’를 만족하지 않습니다. 이 확인으로 중간에 구한 수와 최종 답을 구분하고, 제외해야 할 경계값이 다시 들어오지 않았는지 살핍니다. 풀이 순서를 따라 적은 경우에는 수정 풀이와 답을 가린 뒤 같은 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하며, 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

다음 적용 문제로 「-3<x<2를 만족하는 정수를 모두 써라」를 제시합니다. 이번에는 양 끝값이 -3과 2로 바뀌었지만, 두 부등호가 모두 ‘보다 크고’, ‘보다 작다’이므로 끝값을 포함하지 않는다는 판단은 같습니다. -3과 2 사이에 있는 정수를 순서대로 적으면 -2, -1, 0, 1입니다. 학생이 먼저 경계의 포함 여부를 표시하고, 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 문제를 끝까지 해결하는지 확인합니다.

필요할 때는 “원점에서 멀리 있을수록 항상 큰 수다”라는 설명이 모든 경우에 맞는지 비교해 볼 수 있습니다. -9와 -8을 비교하면 -9가 원점에서 더 멀지만 수직선에서는 더 왼쪽에 있으므로 -9<-8입니다. 이 자료는 새 문제와 같은 답을 반복하려는 것이 아니라, 음수에서는 원점까지의 거리와 수의 대소가 같은 뜻이 아님을 구분하는 데 사용합니다. 다음 수업에서는 학생이 경계값을 스스로 제외하는지, 풀이를 가린 뒤에도 두 조건의 근거를 설명하는지, 그리고 바뀐 끝값에도 같은 판단을 정확히 적용하는지를 확인합니다.