궁동 초등수학과외

한 층의 큐브와 전체 부피를 비교하는 문제

이 글은 교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 “한 변이 두 배가 되면 부피도 두 배일 것 같다”고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 준비할 자료는 한 변이 1cm인 단위 큐브와 한 변이 2cm인 큰 큐브입니다. 먼저 작은 큐브 하나가 차지하는 부피가 1cm³임을 확인한 뒤, 큰 큐브 안에 단위 큐브가 어떻게 들어가는지 살펴봅니다. 질문은 “한 큐브의 변이 두 배가 되면 부피도 두 배일까?”입니다.

큰 큐브를 한 층씩 나누어 보면, 가로 방향으로 단위 큐브 2개, 세로 방향으로 2개가 놓여 한 층에 2×2=4개가 들어갑니다. 이런 층이 높이 방향으로 2층이므로 전체는 4×2=8개입니다. 따라서 작은 큐브 1개의 부피는 1cm³이고, 한 변이 2cm인 큰 큐브의 부피는 8cm³입니다. “두 배”라는 말만 보고 부피를 2cm³라고 하면 틀린 해석입니다. 길이의 세 방향, 즉 가로·세로·높이가 각각 두 배가 되었기 때문입니다.

숨은 큐브까지 층별로 세어 보는 과정

아이가 겉으로 보이는 큐브만 세거나 한 층의 4개만 세었다면, 교사는 큰 큐브를 층별로 떼어 보이며 한 층과 층 수를 구분합니다. 한 층에 단위 큐브 4개가 있고 같은 층이 2개라는 것을 손가락으로 짚어 확인하게 합니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면, 4개짜리 층을 옮겨 두 층으로 놓거나 각 층을 그려도 됩니다. 이때 빈 공간은 큐브가 아니므로 세지 않고, 큰 큐브 내부를 실제로 채우는 단위 큐브만 셉니다.

교사가 한 층을 시범으로 나눈 뒤에는 아이가 남은 층을 직접 세어 보게 합니다. 아이는 가로 2개와 세로 2개를 확인하여 한 층의 4개를 만들고, 그 층을 높이 방향으로 2개 겹쳐 4+4=8개를 구합니다. 이를 2×2×2=8로 나타내면 세 방향의 길이가 각각 두 배가 된 관계와 8cm³라는 단위를 함께 확인할 수 있습니다. 중요한 것은 숫자 8만 말하는 것이 아니라, 1cm³ 단위 큐브 8개가 큰 큐브의 내부를 채운다는 근거를 자료로 보여 주는 것입니다.

같은 부피를 다른 모양으로 쌓아 보기

기본 활동을 다시 확인할 때에는 문제와 단위 큐브 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 뒤 처음부터 다시 놓아 보게 합니다. 아이가 단위 큐브를 한 층씩 배열하고, 층 수를 확인한 뒤 전체 개수를 구하는지 살핍니다. 교사가 필요한 부분을 가리키거나 한 층을 먼저 보여 줄 수 있지만, 이어지는 층을 세고 식을 만드는 일은 아이가 직접 해 봅니다.

이어서 새로운 자료로 1cm³ 큐브 12개를 준비하고, 이를 3×2×2와 6×2×1로 각각 쌓아 봅니다. 첫 배열은 한 층에 3×2=6개씩 두 층이고, 두 번째 배열은 한 층에 6×2=12개씩 한 층입니다. 모양과 층의 구성은 달라졌지만 사용한 단위 큐브의 수는 모두 12개이므로 총부피는 각각 12cm³입니다. 아이가 배열의 모양이 바뀐 것과 큐브의 개수가 바뀐 것을 구분하는지, 두 식이 같은 수량을 나타내는지 자료를 옮기고 세어 보며 확인합니다.

외형 공간과 실제 재료 부피 구분하기

다음 비교는 필요할 때만 선택할 수 있습니다. 가로 4cm, 세로 3cm, 높이 2cm인 직육면체 공간은 4×3×2=24cm³입니다. 그런데 그 안에 1cm³ 크기의 빈 공간이 하나 있다면, 외형이 차지하는 공간은 24cm³이지만 실제 재료의 부피는 24-1=23cm³입니다. 아이가 전체 모양의 부피와 빈 공간을 뺀 재료의 부피를 구분하는지, 빠진 1cm³ 공간을 그림이나 모형에서 가리켜 근거를 보여 주는지 다음 활동에서 확인할 수 있습니다.