궁동 고등수학과외

“구간 밖에서는 두 조건 중 몇 개만 실패해도 되는가?”라는 질문으로 시작해 보자. 실수 x에 관한 조건이 ‘x≥0 그리고 x≤2’라면, x가 0 이상이면서 동시에 2 이하라는 뜻이다. 구간 밖에 있는 수는 두 조건을 모두 어길 필요가 없다. 한 조건만 거짓이어도 원래 조건 전체를 만족하지 못한다. 이 기준을 먼저 말로 확인한 뒤 식을 바꾸어야 한다.

‘그리고’를 그대로 둔 오답과 확인 질문

이렇게 답했다면 어떨까. “부정은 x<0 그리고 x>2이므로 공집합이다.” 실제로 x<0과 x>2를 동시에 만족하는 실수는 없으므로 이 식 자체가 나타내는 값은 공집합이다. 그러나 원래 조건의 부정이 공집합이라는 뜻은 아니다. “구간 밖의 수는 두 조건 중 몇 개만 실패해도 되는가?”를 다시 묻고, 처음 쓴 식에서 연결어가 그대로 남았는지 학생이 직접 표시하게 한다.

-1을 대입하면 x≥0은 거짓이고 x≤2는 참이다. 따라서 원래 조건은 거짓이지만 -1은 부정에 포함되어야 한다. 3을 대입하면 x≥0은 참이고 x≤2는 거짓이므로 역시 원래 조건을 만족하지 않으며 부정에 포함된다. 두 수가 서로 다른 조건을 실패한다는 점은, 부정에서 ‘그리고’가 ‘또는’으로 바뀌어야 함을 보여 주는 확인 자료다. 다만 몇 번의 대입은 방향을 점검하는 반례일 뿐, 모든 실수에 대한 증명을 대신하지 않는다.

원문을 만족하지 않는 대상을 찾아 수정하기

교사는 원래 조건과 부정의 방향을 나누어 비교하게 한다. x≥0 그리고 x≤2가 참이면 x는 [0,2]에 있다. 반대로 이 조건이 거짓이 되려면 x≥0이 거짓이거나 x≤2가 거짓이어야 한다. 각각을 바꾸면 x<0 또는 x>2이다. 학생은 이 설명을 그대로 옮기지 않고, “두 조건 중 하나라도 거짓이면 원 조건은 거짓”이라는 근거를 적은 뒤 직접 수정 풀이를 쓴다.

수정한 식은 x<0 또는 x>2이다. 따라서 정답은 (−∞,0)∪(2,∞)이다. 0과 2는 원래 조건을 만족하므로 부정에 들어가지 않는다. 경계가 빠지는 이유까지 확인해야 식과 구간의 의미가 일치한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 데서 멈추지 않고, 잘못된 명제의 방향을 바꾸었는지, 전칭·존재 명제의 부정과 혼동했는지도 질문으로 구분한다.

풀이를 가린 뒤 연결어와 끝점을 다시 점검하기

다음에는 문제와 필수 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 독립적으로 시작한다. 실수 x에 관한 조건 ‘x<0 또는 x>2’의 부정을 구한다고 하자. 먼저 원 조건을 만족하지 않는 범위를 말로 찾는다. x<0이 아니고 x>2도 아니어야 하므로 x≥0 그리고 x≤2가 된다. 즉 0≤x≤2, 정답은 [0,2]이다.

이번에는 ‘또는’이 ‘그리고’로, 열린 끝점이 닫힌 끝점으로 바뀌었다. 0과 2는 원 조건에 포함되지 않으므로 부정에 포함되고, 원 조건과 부정은 겹치지 않으면서 실수 전체를 빠짐없이 나눈다. 단순히 표현만 바꾼 것이 아니라 조건의 의미가 바뀌었는지 확인한 것이다. 마지막으로 학생이 ‘그리고의 부정은 또는’이라는 근거와 경계 확인을 다시 적게 하고, 다음 문제에서도 원문을 만족하지 않는 대상을 먼저 찾는지 살핀다.