테크노벨리 수학과외

키와 신발 크기 자료에서 생긴 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 키(cm)와 신발 크기(mm)의 짝이 (150, 230), (160, 240), (170, 250)으로 주어졌을 때, 이 자료만 보고 “큰 신발을 신으면 키가 자란다”고 결론낼 수 있는지 묻는 문제입니다. 세 짝을 키와 신발 크기로 나누어 읽으면 키가 150cm에서 160cm, 170cm로 커질 때 신발 크기도 230mm에서 240mm, 250mm로 커집니다.

처음 답을 “함께 증가하니 원인이다.”라고 썼다면, 자료에서 확인되는 함께 변하는 관계와 한 양이 다른 양을 바꾸었다는 원인 관계를 같은 뜻으로 판단한 것입니다. 이 자료는 키가 큰 값에 신발 크기가 큰 값이 대응한다는 사실은 보여 주지만, 큰 신발을 신도록 바꾼 뒤 키가 변했는지를 보여 주지는 않습니다. 따라서 세 짝만으로 큰 신발을 신는 행동이 키 성장의 원인이라고 말할 수 없습니다.

오답의 이유를 확인하는 질문

교사는 답을 곧바로 외운 규칙의 오류라고 단정하지 않고, “이 자료에서 실제로 바꾼 것은 무엇인가요?”, “신발 크기를 바꾼 전후의 키를 비교한 자료가 있나요?”라고 묻습니다. 학생이 함께 증가한다는 뜻은 설명하지만 원인과의 차이를 말하기 어렵다면, 먼저 세 짝을 다시 읽으며 각 수가 무엇을 나타내는지 확인합니다. 반대로 개념은 이해하고 있는데 결론만 틀렸다면, 처음 판단에서 ‘커졌다’는 관찰 뒤에 ‘그래서 원인이다’라는 문장을 덧붙인 지점을 찾아봅니다.

이때 나이처럼 두 양과 관련될 수 있는 다른 요인을 떠올릴 수는 있지만, 현재 자료에는 나이의 값이나 비교 조건이 없습니다. 그러므로 나이가 실제 원인이라고 확정할 수도 없습니다. 핵심은 다른 원인을 새로 정하는 데 있지 않고, 주어진 자료가 보여 주는 범위와 보여 주지 않는 범위를 나누는 데 있습니다.

조건을 다시 읽고 수정 풀이하기

교사는 두 열을 나란히 적어 키의 변화와 신발 크기의 변화를 읽어 보입니다. “키가 큰 자료에서 신발 크기도 크다”는 문장은 세 짝에서 직접 확인할 수 있습니다. 그러나 원인이라고 말하려면 신발 크기를 바꾸었을 때 다른 조건을 비교하거나, 적어도 바꾸기 전후의 변화가 나타난 자료가 필요합니다. 현재 문제에는 신발 크기를 바꾼 뒤의 키 자료가 없으므로 그 단계까지 나아갈 수 없습니다.

학생은 처음의 문장에서 “함께 증가하니”까지는 자료에 맞는 관찰이라고 남기고, “원인이다”라는 결론을 고칩니다. 수정한 풀이는 다음과 같습니다. “세 자료에서 키가 큰 값에 신발 크기도 큰 값이 대응하므로 두 양이 함께 증가하는 관계는 보인다. 하지만 신발 크기를 바꾼 전후의 키 자료가 없으므로 큰 신발을 신는 것이 키를 자라게 한 원인이라고는 결론낼 수 없다.” 학생이 이어지는 문장을 혼자 구성하기 어려우면 교사가 첫 문장인 ‘자료에서 확인되는 변화’를 함께 정리하고, 학생이 마지막 결론을 다시 말하게 합니다.

이 과정에서 학생은 단순히 틀린 문장에 표시만 하는 것이 아니라, 문제의 질문에 맞는 답을 끝까지 완성합니다. 문제는 “두 양이 함께 증가하는가?”만 묻는 것이 아니라, 그 자료만으로 “큰 신발을 신으면 키가 자라는가?”를 판단하게 합니다. 따라서 최종 답은 함께 증가한다는 관찰과 원인을 확정할 수 없다는 판단을 모두 포함해야 합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

수정한 결론은 원래 자료의 부족한 부분을 다시 대조해 확인할 수 있습니다. 세 짝에는 키와 신발 크기의 대응값은 있지만, 신발 크기를 바꾸기 전후의 키나 다른 조건을 맞춘 비교가 없습니다. 그러므로 ‘함께 증가한다’는 자료와 ‘한 양이 다른 양을 바꾸었다’는 근거가 서로 다른 것임을 확인하면 됩니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 세 짝만 다시 보고, 원인 판단에 필요한 자료가 있는지부터 말하게 하는 방식으로 확인할 수 있습니다.

새 적용 문제로 아이스크림 판매량과 냉방 전력 사용량의 짝 (10개, 20kWh), (20개, 30kWh), (30개, 40kWh)를 제시할 수 있습니다. 두 양은 함께 증가하지만, 판매가 늘어서 전력 사용이 늘었다고 단정할 수는 없습니다. 기온이 아이스크림 판매량과 냉방 전력 사용량 모두에 영향을 주었을 가능성을 제기할 수는 있지만, 기온 자료가 없으므로 그 영향도 확정하지 않습니다. 학생이 이전 문제의 답을 그대로 베끼는지보다, 무엇이 함께 변했는지와 원인을 판단할 자료가 있는지를 새 조건에서 다시 설명하는지를 확인합니다.