지족동 수학과외

대표 문제에서 5a⁵가 나온 이유

다음 문제에서 학생이 3a²×2a³을 5a⁵라고 답했다고 가정해 보겠습니다.

이 답에는 계수와 지수를 각각 더한 판단이 함께 나타납니다. 하지만 곱셈식에서 앞의 3과 2는 수이므로 3×2로 계산하고, 같은 문자 a의 거듭제곱은 a²×a³처럼 문자 인수의 개수를 합쳐야 합니다. 따라서 계수는 3×2=6이고, a는 두 개와 세 개를 곱하므로 모두 다섯 개입니다. 정리하면 3a²×2a³=6a⁵입니다.

계수 계산과 문자 인수 처리를 나누어 확인하기

교사는 처음 답만 보고 곧바로 원인을 정하지 않고, “3과 2는 어떤 연산을 해야 할까?”, “a²와 a³은 실제로 a를 몇 번 곱한 것일까?”라고 묻습니다. 학생이 계수는 곱한다고 말할 수 있지만 식에서 3+2를 사용했다면 계산 과정에서 판단이 달라진 것입니다. 반대로 지수법칙을 말로 설명하면서도 a²×a³을 a⁶으로 썼다면 같은 문자의 곱셈에서 지수를 더하는 조건을 적용하는 과정이 필요한지 다시 살펴봅니다.

학생이 이유를 바로 설명하기 어렵다면 교사는 3×2 부분을 먼저 함께 계산하고, a²를 a×a, a³을 a×a×a로 풀어 보입니다. 이때 새로운 조건을 덧붙이는 것이 아니라, 주어진 식의 곱셈을 인수의 곱으로 바꾸어 보는 것입니다. 이후 학생이 남은 정리를 직접 이어 가도록 합니다.

설명 뒤 다시 풀고 원래 조건으로 검산하기

학생은 처음의 5a⁵에서 두 판단을 바꾸어, 먼저 계수를 3×2로 계산하고 같은 문자의 지수는 2+3으로 정리합니다. 그래서 3a²×2a³=6a⁵라는 답을 얻습니다. 답만 고쳐 쓰는 데서 끝내지 않고, 6은 두 계수의 곱이고 5는 a 인수의 개수라는 점을 문제의 각 수와 연결해 확인합니다.

검산할 때는 같은 식을 인수로 펼쳐 봅니다. (3a²)(2a³)=3×2×a×a×a×a×a이므로 계수는 6, 문자 인수는 다섯 개입니다. 따라서 6a⁵가 원래 조건과 일치합니다. 다시 풀 때 풀이 순서를 그대로 따라 쓰는지 확인하려면 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 식만 보고 시작하게 합니다. 이때 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 정도를 조절하고, 조건과 계산이 맞는 다른 풀이도 인정합니다.

새 식에 적용하고 덧셈과 구분하기

이제 기본 문제와 다른 새 적용 문제로 4a²×3a⁵를 제시합니다. 바뀐 것은 계수와 지수의 수치이지만, 곱셈이라는 연산과 같은 문자라는 구조는 같습니다. 따라서 계수는 4×3=12, 지수는 2+5=7이므로 답은 12a⁷입니다. 학생이 이전 답을 외워 쓰는지보다, 4와 3을 곱하고 2와 5를 더한 이유를 설명하며 새 식을 해결하는지를 확인합니다.

추가로 “같은 문자가 보이면 덧셈에서도 지수를 더한다”는 설명이 맞는지 구분할 수 있습니다. x³+x³은 x⁶이 아니라 같은 항 두 개의 합인 2x³입니다. 실제로 x=1이면 왼쪽은 2, x⁶은 1이므로 서로 다릅니다. 지수를 더하는 법칙은 이 대표 문제처럼 같은 밑을 곱할 때 적용되므로, 다음 수업에서는 새 곱셈식을 스스로 해결한 뒤 덧셈식과 비교해 그 적용 조건을 설명할 수 있는지 확인합니다.