당감동 고등수학과외

공간좌표와 구를 다루는 기하 문제에서는 그림의 겉모양보다 x, y, z가 각각 어떻게 변하는지 확인해야 한다. 대표적으로 A(−2,1,4), B(4,5,−2)의 중점을 구하는 문제에서 이렇게 답했다면 풀이 과정을 다시 살펴볼 필요가 있다.

세 좌표에 같은 평균 규칙을 적용했는가

중점은 두 점을 잇는 선분을 정확히 반으로 나누는 점이다. 따라서 x좌표끼리, y좌표끼리, z좌표끼리 각각 더한 뒤 2로 나누어야 한다. 그런데 x와 y만 평균내고 z는 더해 (1,3,2)라고 했다면, z좌표에 같은 규칙을 적용하지 않은 것이다. 이 답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 “처음 식에서 어느 판단이 빠졌을까?”, “세 좌표에 같은 평균 규칙을 적용했을까?”라고 확인한다. 평면에서 익힌 방법을 공간에 옮기는 과정에서 한 좌표를 빠뜨린 것인지, 아니면 구의 반지름과 반지름의 제곱을 혼동한 것인지도 구분해야 한다.

변화량을 적어 수정 계산하기

교사는 공간의 중점 공식을 바로 외우게 하기보다 세 좌표의 계산을 한 줄씩 표시하게 한다.
M=((−2+4)/2,(1+5)/2,(4−2)/2)=(1,3,1)

구의 방정식을 함께 다룰 때는 중심까지 거리의 제곱을 반지름의 제곱과 비교한다. 공간에서의 거리는 세 방향 변위의 제곱합으로 계산하고, 구의 표준형 오른쪽에는 반지름 자체가 아니라 반지름의 제곱이 놓인다. 따라서 학생은 “각 좌표의 합을 모두 2로 나누었다”는 등식을 직접 작성한 뒤, M−A=(3,2,−3), B−M=(3,2,−3)을 대조한다. 두 변위가 같으므로 M은 A와 B에서 같은 거리만큼 떨어져 있고, 정답은 (1,3,1)이다.

조건을 바꾸어 중점과 내분점을 구별하기

기본 문제의 답과 풀이를 가린 상태에서 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 A(0,0,0), B(6,3,9)를 AP:PB=1:2로 내분하는 P를 구한다. 먼저 중점이 아니라 1:2의 내분점이라는 조건을 표시하고, 세 좌표에 같은 내분 비를 적용한다. P=A+(B−A)/3으로 쓰면 P=(2,1,3)이다. 확인할 때는 AP=(2,1,3), PB=(4,2,6)이므로 PB=2AP이고, 두 벡터가 같은 직선 방향이어서 길이 비 1:2가 성립한다.

숫자만 바꾼 문제를 푸는 데 그치지 않으려면, 중점에서는 두 좌표의 평균을 내고 내분점에서는 주어진 비에 따라 전체를 나누는 순서가 다르다는 점을 식으로 표시해야 한다. 이후에도 공간 그림을 보고 짐작하지 말고 x, y, z의 변화량을 각각 적는다. 풀이와 정답을 기억한 것인지, 조건을 읽고 새로 판단한 것인지는 비가 달라진 문제에서 드러난다.