당감동 중등수학과외

수업은 새 조건의 문제를 먼저 펼쳐 보이는 장면에서 시작한다. “−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수는 무엇일까?”라는 질문을 읽은 학생은 곧바로 음수 계산을 하려다 멈춘다. 교사는 답을 대신 말하지 않고, 비교할 대표 문제를 옆에 놓는다. 대표 문제는 “√30이 어느 두 연속한 정수 사이에 있는지 구하고 정수 부분을 말하라”이다. 학생이 처음 적은 답안은 √30=√25+√5이므로 7보다 크다였다.

√30=√25+√5라는 식에서 확인할 것

당감동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식만 보고 곧바로 원인을 단정하지 않는다. 학생은 25와 5를 나누어 본 점은 말할 수 있었지만, 근호 안의 덧셈을 근호 밖의 덧셈처럼 처리하면서 판단이 달라졌다. 교사는 “√(25+5)가 √25+√5와 같을까? 두 식을 각각 제곱해 보자.”라고 짧게 묻는다.

학생은 왼쪽을 제곱하면 25+5=30이지만, 오른쪽을 제곱하면 (5+√5)²=25+10√5+5가 된다는 것을 적는다. 두 값이 같지 않으므로 √(25+5)=√25+√5라고 쓸 수 없다는 점을 확인한다. 만약 학생이 이 비교의 기준을 고르지 못했다면 근호와 덧셈의 관계를 다시 확인해야 한다. 반대로 기준은 알고 있는데 계산 결과만 어긋났다면 제곱한 식을 한 줄씩 대조한다.

제곱수 25와 36 사이에서 범위 정하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 필요한 한 단계만 보여 준다. “30과 가까운 제곱수 두 개를 찾아 양쪽에 놓아 보자.” 학생은 5와 6을 선택하고, 각각의 제곱을 계산한다.

5²=25<30<36=6²

양수 구간에서는 제곱이 커질수록 원래 수의 크기도 커지므로, 학생은 위 부등식에서 직접 5<√30<6을 이끌어 낸다. 따라서 √30이 들어 있는 두 연속한 정수는 5와 6이고, 정수 부분은 5라고 다시 쓴다. 처음에는 근호를 둘로 나누어 값을 키웠지만, 수정 풀이에서는 30을 양쪽의 제곱수 사이에 끼워 범위를 정했다는 차이가 식에 드러난다.

제곱이 아닌 방식으로 정답 확인하기

같은 계산을 반복하는 대신 조건을 대조해 검산한다. 5보다 큰 수의 제곱은 25보다 크고, 6보다 작은 수의 제곱은 36보다 작다. 실제로 30은 25와 36 사이에 있으므로 √30은 5와 6 사이에 있어야 한다. 이 검산은 √25와 √5를 더한 결과를 다시 계산하는 방법이 아니라, 양수 구간에서 제곱이 크기 순서를 유지한다는 관계를 이용한다.

교사는 학생에게 “정수 부분이 왜 5인지 말로 설명해 보자.”라고 묻는다. 학생은 “√30은 5 이상 6 미만이고, 그 수의 정수 부분은 5이기 때문입니다.”라고 답하며 경계와 결론을 연결한다. 대표 문제를 다시 제시할 때에는 문제와 조건만 남기고 처음 답안과 수정 풀이를 가린다. 학생이 제곱수의 크기 비교를 스스로 선택하는지 확인하기 전에는 풀이가 완전히 정리되었다고 판단하지 않는다.

양의 근호에서 음의 근호로 바뀔 때

이제 처음 제시한 새 문제로 돌아간다. 양의 근호의 정수 부분을 묻던 질문이 “−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수”를 묻는 형태로 바뀌었으므로, 부호를 붙일 때 부등호 방향이 어떻게 되는지 확인해야 한다. 학생은 앞에서 얻은 범위에서 출발해 직접 다음 식을 쓴다.

5<√30<6이므로 양변에 −1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 −6<−√30<−5이다. 따라서 −√30보다 작거나 같은 정수 가운데 가장 큰 수는 −6이다. −5는 −√30보다 크므로 조건을 만족하지 않고, −6은 −√30보다 작으므로 조건을 만족한다. 그러므로 답은 −6이다.

다음 문제에서는 학생이 다른 수를 임의로 쪼개지 않고, 먼저 제곱수의 크기 비교로 범위를 정한 뒤 음의 부호가 붙을 때 순서가 바뀌는지 스스로 표시하게 한다. 교사는 학생이 5<√30<6을 근거로 −6<−√30<−5를 정확히 적는지, −5와 −6을 각각 조건과 대조해 가장 큰 정수를 선택하는지를 확인한다.