신흥동 수학과외

연필 세 자루와 지우개 한 개의 가격을 식으로 나타내기

다음 문제에서 학생이 “3(x+500)원이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 한 자루에 x원인 연필 3자루와 500원짜리 지우개 1개의 전체 가격을 식으로 나타내는 문제입니다. 먼저 연필은 3자루이므로 연필 가격만 3배가 됩니다. 지우개는 한 개이므로 500원에 1을 곱한 것과 같아, 전체 가격은 3x+500원입니다.

3(x+500)은 연필 한 자루와 지우개 한 개를 한 묶음으로 만든 뒤, 그 묶음이 3개 있다는 뜻입니다. 하지만 원래 조건에는 그런 묶음이 3개 있다고 제시되지 않았고, 지우개는 1개뿐입니다. 따라서 이 식은 지우개 가격까지 3배로 계산한 점에서 조건과 맞지 않습니다.

어느 판단에서 식이 달라졌는지 확인하기

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “3은 어떤 물건의 개수를 나타내나요?”, “지우개도 세 개인가요?”라고 묻습니다. 학생이 3을 연필의 개수가 아니라 문장에 나온 전체 물건에 적용했다고 설명할 수도 있고, 괄호 안의 합을 하나의 묶음으로 보아야 한다고 생각했을 수도 있습니다. 이때는 괄호의 뜻을 말로 설명하는 것과 실제 조건에 식을 적용하는 것을 나누어 확인합니다.

교사는 연필의 가격과 개수를 짝지어 x×3으로 쓰고, 지우개의 가격과 개수를 짝지어 500×1로 쓰게 합니다. 학생이 바로 설명하기 어려우면 연필 세 자루의 가격만 먼저 x+x+x=3x로 함께 확인한 뒤, 지우개 한 개의 가격 500원을 더하는 단계는 학생이 이어서 시도하게 합니다. 여기서 괄호는 같은 수에 같은 연산을 적용할 때 사용하므로, 연필과 지우개 한 개를 묶은 뒤 그 전체를 3배로 하려면 실제로 지우개도 세 개여야 한다는 점을 짚습니다.

조건에 맞게 다시 세우고 계산하기

이제 처음 문제의 수치와 조건은 그대로 둔 채, 앞의 풀이와 정답을 가리고 학생이 다시 해결한다고 해 보겠습니다. 학생은 연필 세 자루의 가격을 3x로 쓰고, 지우개는 한 개이므로 +500을 붙여 3x+500원이라고 답합니다. 처음 답에서 바꾼 판단은 괄호를 없애는 것 자체가 아니라, 물건별 개수를 해당 가격에만 적용한 것입니다.

예를 들어 x=1000이면 연필 세 자루는 1000×3=3000원이고, 지우개 한 개는 500원입니다. 따라서 전체는 3000+500=3500원입니다. 반면 처음 식 3(x+500)에 대입하면 3(1000+500)=4500원이 되어, 지우개를 세 개 산 경우의 금액이 됩니다. 이 대입은 수정한 식이 원래 조건과 일치하는지 확인하는 검산이기도 합니다.

지우개 개수가 바뀌면 같은 괄호를 쓸 수 있는가

조건을 바꾼 새 문제로, 한 자루 x원인 연필 3자루와 500원짜리 지우개 3개의 가격을 생각해 보겠습니다. 이번에는 연필과 지우개가 각각 3개이므로, 한 쌍의 가격을 먼저 x+500으로 보고 그 묶음이 3개 있다고 하여 3(x+500)=3x+1500원으로 나타낼 수 있습니다. 앞 문제와 식이 달라진 이유는 지우개의 개수도 3개로 바뀌었기 때문입니다.

필요하다면 “문장에 나온 개수는 모든 가격 항에 곱한다”는 설명이 항상 맞는지도 비교합니다. 한 개에 x원인 물건 3개와 한 개에 100원인 물건 1개라면 전체 가격은 3x+100원입니다. x=100일 때 400원이지만 3(x+100)은 600원이므로, 개수는 모든 가격에 일괄 적용하는 것이 아니라 각 물건의 가격과 그 물건의 개수를 짝지어 적용해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 식을 다시 세우고, 괄호를 쓴 이유와 쓰지 않은 이유를 새 조건에 맞게 설명하는지를 확인합니다.