성남동 수학과외

대표 문제에서 놓친 것은 문자 전체의 치환입니다

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. x=2y, 3x+y=14를 풀어라. 학생은 x=2y를 두 번째 식에 넣으면서 “3×2+y=14”라고 썼습니다. 이 식에서는 x를 2로 바꾼 것이 아니라, x와 같은 값인 2y 전체를 넣어야 합니다. 따라서 3x는 3×(2y)로 바뀌며, y가 붙은 식 전체가 사라지지 않습니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “x가 2y와 같다는 것은 x의 자리에 숫자 2만 넣는다는 뜻일까, 아니면 2y라는 식 전체를 넣는다는 뜻일까?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 말하기 어렵다면 교사는 x가 2y와 같은 값을 가지므로 x 대신 2y를 그대로 써야 한다는 부분을 먼저 보여 줍니다. 이어서 3x에서 3은 2y 전체에 곱해지는 계수라는 점을 짚어, 3(2y)로 고쳐 쓰게 합니다.

조건을 다시 읽고 수정 풀이를 완성합니다

학생은 처음 풀이에서 x를 2로 바꾼 판단을 수정하여 다음과 같이 다시 풉니다. x=2y를 두 번째 식의 x 자리에 대입하면 3(2y)+y=14입니다. 여기서 2y는 x와 같은 값을 갖는 식 전체이고, 앞의 3은 그 전체에 곱해져야 하므로 3(2y)=6y입니다. 따라서 6y+y=14, 7y=14가 되어 y=2를 구합니다. 이제 첫 번째 조건 x=2y에 y=2를 대입하면 x=4입니다.

이 과정에서 구하는 y=2는 최종 답의 일부이고, x=4는 첫 번째 조건을 이용해 이어서 구한 값입니다. 학생은 단순히 식에 표시만 남기는 데서 끝내지 않고 “x=2y이므로 x 대신 2y 전체를 넣었고, 3이 그 식 전체에 곱해진다”고 문제의 조건과 연결해 설명한 뒤 답을 완성합니다. 교사는 학생이 막힌 지점이 치환 개념인지, 3(2y)를 계산하는 과정인지에 따라 도움을 조절합니다. 개념에서 막혔다면 식 전체를 넣는 이유를 다시 확인하고, 계산에서 막혔다면 3×2y가 6y가 되는 단계만 함께 확인한 뒤 다음 계산은 학생이 이어 가도록 합니다.

원래 조건에 대입해 결과를 확인합니다

수정한 답은 원래 두 조건에 직접 대입해 확인할 수 있습니다. y=2일 때 2y=2×2=4이므로 x=4가 첫 번째 조건을 만족합니다. 또한 3x+y=3×4+2=12+2=14이므로 두 번째 조건도 만족합니다. 이는 같은 풀이를 반복하는 것이 아니라, 구한 x와 y가 문제에서 주어진 두 관계를 동시에 만족하는지 확인하는 과정입니다.

학생이 풀이 순서를 그대로 따라 쓴 경우에는 다음 확인에서 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건만 보면서 다시 식을 세워 보게 할 수 있습니다. 이때 x의 자리에 2만 쓰는지, 2y 전체를 쓰는지 먼저 살펴보고, 이어서 3(2y)를 계산해 y와 x를 차례로 구하는지를 확인합니다. 다른 방식으로 풀더라도 두 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

새 조건에서도 치환 방법을 적용할 수 있는지 봅니다

다음 문제는 앞의 문제와 식의 모양이 달라집니다. x=3y, x+2y=20을 풀어라. 이번에는 x의 자리에 3y 전체를 넣어야 하므로 3y+2y=20이 됩니다. 같은 종류의 항을 합치면 5y=20, y=4이고, 첫 번째 조건 x=3y에 대입하면 x=12입니다. 앞 문제에서 x=2y였던 부분이 x=3y로 바뀌었지만, 한 문자의 값을 나타내는 식 전체를 다른 식의 해당 문자 자리에 넣는다는 판단은 그대로 적용됩니다. 학생이 이전 답을 베껴 쓰는 것이 아니라 새 수치와 조건으로 식을 다시 세우는지 확인하는 것이 중요합니다.

필요하다면 다음 비교 문제로 치환 뒤의 결론도 점검할 수 있습니다. y=x+6, 2y=2x+12를 대입하면 2x+12=2x+12가 됩니다. 미지수가 없어졌다고 해서 항상 해가 없는 것은 아닙니다. 이 식은 모든 실수 x에서 참이고 y=x+6으로 정해지므로 해가 무수히 많습니다. 성남동 수학과외 수업에서는 먼저 새 적용 문제를 스스로 해결하는지 살핀 뒤, 이처럼 대입 결과가 항등식이 되는 경우와 모순이 되는 경우를 구분할 수 있는지 다음 확인으로 이어갈 수 있습니다.