도화지구 수학과외

대표 문제와 처음의 판단

다음과 같은 교육용 상황을 생각해 보겠습니다. 실수 x에 대하여 x²=1이면 x=1이라는 명제가 참인지 판단하는 문제입니다. 처음에는 “참이다”라고 답했다고 해 보겠습니다. x=1을 제곱하면 1이 되므로 명제가 맞다고 생각한 것입니다. 그러나 이 문제에서 확인해야 할 것은 x=1이 조건을 만족하는지 하나만 보는 것이 아니라, 조건을 만족하는 모든 실수 x가 반드시 1인지입니다. x=-1도 실수이고 (-1)²=1이므로 x²=1이라는 조건을 만족하지만 -1≠1입니다. 따라서 주어진 명제는 거짓입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하는 과정

교사는 처음 답을 곧바로 단순한 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 먼저 “x=1 말고도 제곱해서 1이 되는 실수가 있는지 찾아볼 수 있을까?”라고 묻고, 학생이 x²=1을 직접 다시 살펴보게 합니다. 학생이 x=1만 대입해 보고 다른 수를 생각하지 못했다면, 문제의 ‘실수 x’와 ‘이면’이라는 표현이 모든 가능한 경우를 포함한다는 점을 함께 확인합니다. 반대로 학생이 x=-1도 알고 있었는데 식을 정리하는 과정에서 빠뜨렸다면, 개념을 모르는 경우와 계산·정리 과정의 누락을 나누어 살펴볼 수 있습니다.

교사는 제곱 조건을 만족하는 수의 부호를 함께 검토합니다. x²=1은 x가 1이라는 뜻이 아니라, x가 1 또는 -1일 수 있다는 뜻입니다. 실제로 x²-1=0으로 정리하면 (x-1)(x+1)=0이므로 x=1 또는 x=-1입니다. 학생이 이 과정을 한 번에 이해하기 어려우면 교사가 인수분해와 두 경우를 먼저 보여 주고, 학생은 각각의 값을 원래 식에 대입해 조건을 만족하는지 확인합니다.

이때 학생은 처음의 “참이다”라는 판단에서, x=1이라는 한 경우만 확인한 점을 고칩니다. “x=-1도 제곱하면 1이므로 조건을 만족하지만 결론 x=1과는 다르다”고 문제의 조건과 연결해 설명한 뒤, 명제가 거짓이라는 결론까지 다시 작성합니다. 단순히 -1에 표시하는 것으로 끝내지 않고, 반례가 명제를 거짓으로 만드는 이유를 자신의 풀이에 반영하는 것이 중요합니다.

조건에 대입해 확인하는 검산

수정한 결론은 원래 조건에 직접 대입해 확인할 수 있습니다. (-1)²=1이므로 -1은 조건 x²=1을 만족합니다. 그런데 결론은 x=1이므로, -1≠1이라는 사실에서 조건은 참이지만 결론은 성립하지 않는 경우가 생깁니다. 따라서 “x²=1이면 x=1”이라는 명제는 거짓입니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 보면서, 가능한 x의 값을 다시 찾게 합니다. 혼자 다시 시작하지 못한다면 제곱 조건의 부호를 확인하는 단계만 도움을 주고, 두 값을 찾고 결론을 판단하는 과정은 학생이 이어서 시도하도록 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음에 확인할 점

새 적용 문제로 실수에서 “x²>9이면 x>3이다”의 반례를 하나 제시하게 할 수 있습니다. 학생은 x=-4를 선택할 수 있습니다. (-4)²=16이고 16>9이므로 조건은 만족하지만, -4>3은 거짓입니다. 여기서도 양의 값만 확인하지 않고 음의 값까지 살펴야 한다는 이전의 판단을 적용합니다. 다만 새 문제의 결론은 x=3이 아니라 x>3이라는 부등식이므로, 조건을 만족하는 반례 하나를 찾으면 충분히 거짓임을 보일 수 있다는 차이도 확인합니다. 필요하다면 “정방향 명제가 참이면 그 역도 항상 참인가?”를 추가로 비교할 수 있습니다. 정수 x가 10의 배수이면 5의 배수라는 명제는 참이지만, 그 역인 “5의 배수이면 10의 배수”는 x=5에서 거짓입니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 뒤 대표 문제와 새 문제를 다시 해결하고, 선택한 반례가 조건과 결론을 각각 어떻게 보여 주는지 설명하는지를 확인합니다.