용현동 수학과외

“1이다”라는 답에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 “0<x<1에서 y=x의 최댓값은 1이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 1에 가까운 값은 만들 수 있지만, 문제의 조건은 x가 1보다 작아야 한다는 것입니다. 따라서 x=1은 허용되지 않으며, y=x의 값도 실제로 1이 될 수 없습니다. 이 문제에서 구해야 하는 것은 1에 가까워지는 값이 아니라, 구간 안에서 실제로 가질 수 있는 가장 큰 값입니다.

교사는 먼저 “1을 x에 대입했을 때 0<x<1이라는 조건을 만족하는가?”라고 묻습니다. 학생이 경계값을 대입해 보았을 때 조건을 만족하지 않는다는 점을 확인하면, 이번 오답이 단순 계산 실수인지, 열린 구간의 뜻을 혼동한 것인지 구분할 수 있습니다. 개념 설명은 가능하지만 답이 달라졌다면, 처음부터 어떤 수를 허용되는 값으로 생각했는지 다시 살펴봅니다.

경계에 가까워지는 것과 경계값을 갖는 것은 다르다

0<x<1에서는 x가 1에 한없이 가까워질 수 있습니다. 예를 들어 0.9, 0.99, 0.999처럼 1에 가까운 수를 고를 수 있지만, 이 수들은 모두 1보다 작습니다. ‘가까워질 수 있다’는 사실만으로 1을 실제 함수값이라고 할 수는 없습니다. 최댓값이 있으려면 그 값이 허용된 x에서 실제로 나와야 합니다.

이 판단을 더 분명히 확인하는 방법은 임의의 x에 대해 같은 구간 안에서 더 큰 값을 만들어 보는 것입니다. 0<x<1인 어떤 x를 골라도 x와 1의 중간값인 (x+1)/2는 x보다 크고 1보다 작습니다. 실제로 x<1이므로 x+1<2이고, 양변을 2로 나누면 (x+1)/2<1입니다. 또 x<1이므로 x<(x+1)/2입니다. 즉 어떤 x를 선택해도 그보다 큰 구간 안의 값이 다시 존재합니다. 그러므로 가장 큰 값은 정해지지 않습니다.

조건을 반영해 다시 푸는 과정

교사는 학생이 풀이를 가린 상태에서 문제의 조건과 질문만 보고 다시 시작하도록 합니다. 먼저 “x는 0보다 크고 1보다 작으며, y는 x와 같다”라고 적게 합니다. 학생이 1을 답으로 쓰려 하면, 교사는 1이 허용된 값인지 확인하게 하고, x=1을 조건에 대입해 보도록 돕습니다. 조건을 만족하지 않으므로 1은 후보가 될 수 없다는 결론을 학생이 직접 고칩니다.

이후 교사는 임의의 허용값 x에 대해 (x+1)/2를 비교하는 한 단계를 함께 보여 줄 수 있습니다. 학생은 이 식이 x보다 크면서도 1보다 작다는 것을 이어서 확인하고, “어떤 값을 골라도 더 큰 값이 있으므로 최댓값이 없다”고 답을 완성합니다. 처음의 “1이다”라는 판단에서 바뀐 부분은 1에 가까운 값과 실제로 허용되는 최댓값을 구별한 점입니다. 표시만 남기는 것이 아니라, 조건과 비교식으로 결론을 설명하는지 확인합니다.

검산과 새로운 조건에의 적용

검산할 때는 풀이를 그대로 반복하지 않고, 원래 조건에 맞는 더 큰 값을 다시 확인합니다. 0<x<1인 임의의 x에 대해 (x+1)/2가 같은 구간에 있고 x보다 크므로, 선택한 값이 최댓값일 수 없다는 결론이 유지됩니다. 학생이 막히면 개념을 이해하지 못한 것인지, 부등식 계산에서 어려움을 겪는 것인지 나누어 보고 필요한 단계만 추가로 설명합니다.

새 적용 문제는 y=x², 0<x<2에서 최댓값은 4인가?입니다. x=2는 구간에 포함되지 않으므로 y=4도 실제로 가질 수 없습니다. 0<x<2에서는 x가 커질수록 x²도 커지지만, 어떤 x<2를 골라도 (x+2)/2는 x보다 크고 2보다 작습니다. 양수가 비교되고 있으므로 제곱하면 ((x+2)/2)²>x²가 되어 더 큰 함수값을 만들 수 있습니다. 따라서 4는 상한이지만 최댓값은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 조건과 정답을 가린 뒤, 왜 4에 가까워지는 것과 4를 실제로 갖는 것이 다른지 스스로 설명하는지 확인합니다.