도화동 수학과외

상의 3벌과 하의 2벌을 고르는 문제

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “상의 3벌과 하의 2벌 중 하나씩 골라 입는 조합은 몇 가지인가?” 학생은 3+2=5라고 적었습니다. 이 답은 상의의 선택 수와 하의의 선택 수를 한 번에 합친 결과입니다. 하지만 문제에서 구하는 것은 옷의 종류 수를 더한 값이 아니라, 상의 하나와 하의 하나를 함께 골라 만들어지는 한 벌의 조합 수입니다.

교사는 먼저 “3은 무엇을 세었고, 2는 무엇을 세었을까?”, “상의 한 벌을 골랐을 때 하의는 몇 가지 중에서 고를 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 이유를 설명하지 못해도 괜찮습니다. 상의 1벌을 골랐다고 놓고 하의 2벌을 각각 연결해 보게 한 뒤, 같은 과정을 상의 2벌과 3벌에도 이어 갑니다. 이때 확인할 개념은 선택이 이어질 때 각 첫 번째 선택마다 가능한 두 번째 선택을 모두 연결해야 한다는 점입니다. 답이 틀렸다는 사실만으로 계산 실수인지 개념 오해인지 단정하지 않고, 학생이 더하기를 선택한 이유와 문제의 조건을 어떻게 읽었는지를 함께 살핍니다.

교사의 설명을 이용해 수정 풀이하기

교사는 상의 한 벌마다 하의 2벌이 각각 짝지어진다고 설명합니다. 상의 1벌은 하의 1벌, 하의 2벌과 짝지어지고, 상의 2벌도 하의 1벌, 하의 2벌과 짝지어집니다. 상의 3벌 역시 두 하의와 각각 짝지어집니다. 따라서 한 선택 뒤에 이어지는 선택의 수를 같은 방식으로 세어야 하므로 식은 3×2=6이 됩니다.

학생은 처음의 3+2에서, 서로 다른 두 종류의 수를 단순히 합친 판단을 바꾸어 “상의 한 벌을 고를 때마다 하의 2벌을 모두 연결한다”고 다시 적습니다. 이어서 상의 1벌에서 2가지, 상의 2벌에서 2가지, 상의 3벌에서 2가지가 생기므로 2+2+2=6이라고 확인하거나, 바로 3×2=6으로 정리할 수 있습니다. 중요한 것은 곱셈 기호를 외워 쓰는 데 그치지 않고, 3과 2가 각각 무엇을 뜻하는지 설명하며 조합 수를 끝까지 구하는 것입니다.

조합을 직접 세어 검산하기

수정한 답은 상의 한 벌마다 하의 두 벌을 짝지어 실제 결과를 세어 검산할 수 있습니다. 상의 1벌에서는 두 쌍, 상의 2벌에서도 두 쌍, 상의 3벌에서도 두 쌍이 생기므로 전체는 2+2+2=6쌍입니다. 이는 3×2=6과 일치합니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 식과 정답을 가리고, 문제의 조건만 다시 보게 합니다. 학생이 각 상의 선택에 하의 두 가지가 이어진다는 판단부터 다시 구성하는지 확인하고, 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 정도를 조절합니다. 다른 방식으로 풀었더라도 모든 가능한 조합을 빠뜨리지 않고 계산했다면 같은 조건과 정답에 근거한 풀이로 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

방법을 바꾸지 않고 적용할 수 있는 새 문제로 “입구 2곳 중 하나로 들어가고 출구 5곳 중 하나로 나오는 경로는 몇 가지인가?”를 제시할 수 있습니다. 문제의 조건은 입구를 하나 고른 뒤 출구를 하나 고르는 것이며, 모든 조합이 가능하다고 했습니다. 입구 하나마다 출구 5곳이 연결되므로 2×5=10가지입니다. 이 문제에서는 이전 문제의 상의와 하의가 입구와 출구로 바뀌었지만, 첫 선택 하나마다 두 번째 선택이 모두 이어진다는 구조는 같습니다.

추가로 선택할 수 있는 비교 문제는 대표와 부대표를 겸임 없이 한 명씩 뽑는 경우입니다. 학생 8명 중 대표를 먼저 뽑으면 8가지, 그 뒤 부대표는 남은 7명 중에서 고르므로 8×7=56가지입니다. 여기서는 역할이 다르기 때문에 대표와 부대표를 바꾼 결과가 같은 경우로 합쳐지지 않습니다. “두 명을 고르면 항상 2로 나눈다”는 설명을 그대로 적용할 수 없는 이유를 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 조건만 보고 가능한 선택을 연결해 식을 세우는지, 그리고 정답의 근거를 말하거나 다시 풀어 보이는지를 기준으로 이어 갈 수 있습니다.