숭의지구 수학과외

대표 문제에서 5√5가 나온 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 2√3+3√2를 동류항끼리 정리하라는 것이고, 학생은 “5√5다.”라고 썼습니다. 두 항의 계수 2와 3을 더하고 근호 안의 3과 2도 더해 √5로 만든 것으로 보이지만, 이 계산은 근호가 있는 항의 합 조건을 잘못 적용한 것입니다. 2√3과 3√2는 계수뿐 아니라 근호 부분도 서로 다르므로 하나의 항으로 합칠 수 없습니다.

이 문제에서 먼저 확인할 것은 소인수분해를 이용해 근호 안에서 꺼낼 수 있는 제곱인수가 있는지입니다. 3과 2는 각각 더 이상 제곱인수를 꺼낼 수 없으므로 2√3과 3√2는 그대로 남습니다. 따라서 동류항끼리 정리한 결과는 2√3+3√2입니다. 동류항이라는 말은 문자나 근호 부분이 같은 항을 뜻하므로, 근호 안의 수가 다르면 계수만 더할 수 없습니다.

오답의 원인을 확인하는 질문

교사는 5√5라는 답만 보고 계산 실수라고 단정하지 않고, “2√3과 3√2에서 서로 같은 부분은 무엇인가?”, “√3과 √2를 같은 종류의 항으로 볼 수 있는가?”라고 묻습니다. 학생이 ‘앞의 숫자만 더했다’고 설명하면 계수와 근호 부분의 역할을 나누어 살핍니다. 반대로 동류항의 뜻은 말할 수 있지만 답이 달라졌다면, 처음 식을 옮기는 과정이나 근호 안의 수를 더한 계산에서 판단이 바뀐 지점을 다시 확인합니다.

학생이 설명하기 어려워하면 교사는 2√3을 사과 2개, 3√2를 배 3개에 비유해 종류가 다른 대상을 합쳐 5개의 같은 대상으로 만들 수 없는 것처럼 짧게 보여 줍니다. 그런 다음 “그렇다면 이 식에서 그대로 남겨야 하는 부분은 어디인가?”를 다시 묻고, 학생이 근호 부분을 비교해 보도록 돕습니다. 이 과정의 목표는 표시를 남기는 데 있지 않고, 어떤 조건에서 항을 합칠 수 없는지 문제의 식과 연결해 판단하는 것입니다.

학생의 수정 풀이와 계산 확인

학생은 대표 문제를 다시 보며 2√3과 3√2의 근호 부분이 각각 √3, √2로 다르다는 점을 확인합니다. 따라서 계수 2와 3을 더하지 않고, 식을 2√3+3√2로 남깁니다. 이때 ‘근호 안의 수를 더해서 √5로 바꾸지 않는다’는 점이 처음 답에서 바꾼 판단입니다. 문제에서 요구한 것은 두 항을 하나로 만드는 것이 아니라, 동류항끼리 정리하는 것이므로 이 형태가 최종 답입니다.

검산으로 근삿값을 비교할 수 있습니다. 2√3+3√2는 약 2×1.732+3×1.414=7.707이고, 5√5는 약 5×2.236=11.180입니다. 두 값이 다르므로 5√5는 원래 식과 같은 값이 아닙니다. 다만 이 비교는 근삿값으로 결과가 일치하지 않음을 확인하는 방법이고, 근호를 합칠 수 없는 핵심 근거는 두 항의 근호 부분이 다르다는 점입니다. 풀이 순서를 외워서 쓴 경우에는 수정 풀이와 답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하며, 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

앞의 방법을 새 문제에 적용해 √2+√3를 √5로 바꿀 수 있는가?를 확인합니다. 결론은 바꿀 수 없습니다. 두 식을 제곱하면 (√2+√3)²=2+3+2√6=5+2√6이지만, (√5)²=5이므로 서로 다른 값입니다. 이는 근호 안의 수를 더해 하나의 근호로 만드는 방법이 일반적으로 성립하지 않음을 보여 줍니다.

필요하다면 √(100+100)과 √100+√100도 비교합니다. 앞의 식은 √200=10√2이고, 뒤의 식은 10+10=20입니다. 두 값의 제곱이 각각 200과 400으로 다르므로 서로 같지 않습니다. 다음 수업에서는 학생이 이 문제의 풀이와 답을 가린 상태에서 2√3+3√2를 다시 해결하고, 왜 5√5로 바꿀 수 없는지 말로 설명한 뒤 √2+√3에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.