인천문학동 수학과외

아래 내용은 수업 방법을 설명하기 위한 학습 예시입니다.

소수 두 개의 합은 항상 짝수인지 묻는 문제에서 학생은 “소수는 모두 홀수라서 항상 짝수다”라고 답했다. 홀수인 소수들을 떠올려 두 홀수의 합이 짝수라는 성질을 적용했지만, 소수 가운데 2가 포함되어 있다는 점은 확인하지 않았다. 인천문학동 수학과외 수업에서는 결론을 바로 고치기보다 ‘모든 소수가 홀수’라는 판단이 실제 소수의 정의와 맞는지부터 살펴봤다.

소수는 1보다 큰 자연수 가운데 약수가 1과 자기 자신뿐인 수다. 2의 약수는 1과 2뿐이므로 2 역시 소수이며, 동시에 유일한 짝수 소수다. 따라서 소수 2와 홀수 소수 3을 더하면 2+3=5가 되어 홀수가 나온다. 이 한 가지 반례만으로도 ‘소수 두 개의 합은 항상 짝수다’라는 주장은 성립하지 않는다.

학생은 3+5=8처럼 합이 짝수가 되는 예도 다시 확인했다. 그러나 한 사례에서 주장이 맞는다고 해서 ‘항상’이라는 결론을 내릴 수는 없다. 반대로 모든 경우에 성립한다고 한 명제는 조건을 만족하면서 결론이 성립하지 않는 반례 하나만 찾아도 틀렸음을 판단할 수 있다. 처음 답에서 바뀐 것은 덧셈 방법이 아니라 소수 전체를 홀수로 묶었던 기준이었다.

새 질문에서는 ‘2를 제외한 두 소수의 합은 항상 짝수인가’를 확인했다. 2보다 큰 소수는 모두 홀수이므로 이 조건에서는 홀수와 홀수를 더하게 되고 합은 짝수가 된다. 학생은 원래 주장 전체를 그대로 외우지 않고, 2가 포함되는 경우와 제외되는 경우를 나누어 결론을 판단했다.

다음에는 ‘항상’, ‘모든’과 같은 표현이 들어간 주장부터 조건을 확인하고 예외가 존재하는지 살펴본다. 특히 소수의 성질을 사용할 때는 2를 다른 소수와 똑같이 홀수로 처리하지 않는지가 중요하다. 이후에는 몇 가지 맞는 예만 확인하고 일반화하기보다 정의를 먼저 확인하고 반례가 있는지를 찾아보는 것이 다음 점검 기준이 된다.